延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（考研指导）（数学一）2013年全国硕士研究生入学统一考试

2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题:1~8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)已知lim x-arctan x c.求k,c (A)k=2,c=- (B)k=2c=1 (C)k=3c= k=3.c= (2)曲面x2+cos(xy)+y2+x=0在点(0,1-1)的切平面方程为 (A)x-y+=-2(B)x+y+2=0(C)x-2y+ ()x-y ()设f(x)=(x-)=2(x)nm(m=12…,),令()=∑b,snmx,则 s(-)= (4)设L1:x2+y2=1,L2:x2+y2=2,L3:x2+2y2=2,4:2x2+y2=2为四条逆时针 方向的平面曲线,记1=(y+)+2x号)(=1234)则mx{1,,,}= (A)1 (B)l2 (C)13(D)l4 (5)设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C.且B可逆,则 (A)矩阵已知行向量组与A的行向量组等价 (B)矩阵已知列向量组与A的列向量组等价 (C)矩阵已知行向量组与B的行向量组等价 D)矩阵已知列向量组与B的列向量组等价 (6)矩阵aba与0b0相似的充要条件 (A)a=0,b=2(B)a=0,b任意常数(C)a=2,b=0(D)a=2,b任意 (7)设x,X2,X是随机变量,且xX1~N(O.),X2~N(02),Xx3~N(5,32)

2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)已知 0 -arctan lim = k x x x c → x .求 k c, . (A) 1 =2, = - 2 k c (B) 1 =2, = 2 k c (C) 1 =3, =- 3 k c (D) 1 =3, = 3 k c (2) 曲面 2 x xy yz x + + + = cos( ) 0 在点 (0,1, 1− ) 的切平面方程为 （A) x y z − + = −2 (B) x y z + + = 0 (C) x y z − + = − 2 3 (D) x y z − − = 0 (3) 设 1 0 1 ( ) ( ), 2 ( )sin (n=1,2, ) 2 n f x x b f x n dx = − =    ， 令 1 ( ) sin n n s x b n x  = =   . 则 9 ( ) 4 s − = (A) 3 4 (B) 1 4 (C) 1 4 − (D) 3 4 − (4) 设 2 2 2 2 2 2 2 2 L x y L x y L x y L x y 1: 1, 2: 2, 3: 2 2, 4: 2 2 + = + = + = + = 为四条逆时针 方向的平面曲线，记 3 3 6 3 ( ) (2 ) ( 1,2,3,4) i y x i L I y x dy i = + + − =  .则 max , , , I I I I 1 2 3 4 = （A） 1 I （B） 2 I （C） 3 I (D) 4 I (5)设 A B C , , 均为 n 阶矩阵，若 AB C= .且 B 可逆，则 (A)矩阵已知行向量组与 A 的行向量组等价 (B)矩阵已知列向量组与 A 的列向量组等价 (C)矩阵已知行向量组与 B 的行向量组等价 (D)矩阵已知列向量组与 B 的列向量组等价 (6) 矩阵 1 1 1 1 a a b a a           与 200 0 0 0 0 0 b           相似的充要条件 (A) a b = = 0, 2 (B) a b = 0, 任意常数 (C) a b = = 2, 0 (D) a b = 2, 任意 (7) 设 1 2 3 X , , X X 是随机变量，且 X N 1 ~ (0,1), 2 ~ (0, 2 ) 2 X N , 2 X N 3 ~ (5,3 )

P=P{-2≤X2≤2)(=12,3),则 A)P1>P2>P3(B)P2>P1>P3(C)P2>P1>P2①D)P1>P3>P2 (8)设随机变量X~tn),Y~F(1,n),给定a,(0c}=2 则P{>c2 (aa (B)1-a (C)2c D)1-2a 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)设函数y=f(x)由方程y-x=e确定,则limn(f(-)-1)= (10)已知y=e-xe23,y1=e-x23,y3=xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程 的3个解,则该方程的通解为y (11)设 x=sint d Uy= t sint+cosr(t为常数),则 dh Inx (12) (13)设A=(an)是3阶非零矩阵,4为A的行列式,4为a1的代数余子式,若 an+A=0(,j=12,3)则4 (14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零,则 P{Y≤a+l>a}= 、解答题:15~23小题共94分.请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) 计算f(M,其中f(7n(+1=d (16)(本题满分10分) 设数列{an}满足条件:d=3.a4=1,dn2-m(n-1)n=0(n≥2),s是幂级数∑ax 的和函数 (I)证明:s"(x)-s(x)=0 (Ⅱ)求s(x)的表达式 (17)(本题满分10分)

p P X i i = −   =  2 2 ( 1,2,3) 2  ,则 (A) 1 2 3 p p p   (B) 213 p p p   (C) 3 1 2 p p p   (D) 1 3 2 p p p   (8) 设随机变量 X t n ~ ( ) ，Y F n ~ (1, ) ，给定  ,(0 0.5)    ,常数 C 满足 P X c   = 2 ， 则   2 P Y c  = (A)  (B) 1- (C) 2  (D)1-2  二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 设函数 y f x = ( ) 由方程 x y (1 ) y x e − − = 确定，则 1 lim ( ( ) 1) n n f → n − = ___________ （10）已知 2 3 2 2 2 1 3 , , x x x x x y e xe y e xe y xe = − = − = − 是某二阶常系数非齐次线性微分方程 的 3 个解，则该方程的通解为 y = __________ (11) 设  sin sin cos x t y t t t = = + （ t 为常数），则 2 2 d y dx 4 t  = =__________ (12) 1 2 ln (1 ) x x d x + = +  ___________ (13) 设 ( ) A a = ij 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， Aij 为 ij a 的代数余子式，若 0( , 1,2,3) ij ij a A i j + = = 则 A =___________ (14) 设随机变量 Y 服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则 P Y a Y a   +  = 1  _______ 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 计算 1 0 ( ) x f x d x  ，其中 1 ln( 1) ( ) x t t f x d t + = =  (16)(本题满分 10 分) 设数列 an 满足条件： 0 1 2 ( ) 3, 1, ( 1) 0( 2), n n x d a d n n a n s = = − − =  − 是幂级数 0 n n n a x  =  的和函数 （Ⅰ）证明： ( ) ( ) 0 n s x s x − = （Ⅱ）求 s x( ) 的表达式 (17)(本题满分 10 分)

求函数∫(x,y)=(y+)e的极值 (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在【-1,1】上具有2阶导数,且f(x)=1,证明:(I)存在E(0,1) 使得∫(E)=1。(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得∫"(m)+f()=1。 (19)(本题满分10分) 设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点,将L绕轴旋转一周得到曲面∑,∑与平面 二=0,2=2所围成的立体为g,(1)求曲面Σ的方程,(m)求Ω的球心方程 (20)(本题满分11分) 01 设A B 10 1b,当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B.并求 所有矩阵C (21)(本题满分11分) 设二次型∫(x1x2,x3)=2(a1x+a2x2+a3x3)2+(bx1+b2x2+bx)2。记 a=|a,B=|b1|(1)证明二次型∫对应的矩阵为2a2+pBg:(n)若a,B正 交且为单位向量,证明∫在正交交换下的标准形为2y2+y2 (22)(本题满分11分) 设随机变量X的概率密度为f(x)={a -x2,0<x<3 令随机变量 其他, X<1 Y={X,1<X<2 1,X≥2 (I)求Y的分布函数 (I)求概率P{X≤Y (23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为f(x:0)={x 其中为未 0,其他, 知参数且大于零,X1,X2,…X为来自总体X的简单随机样本 (I)求b的矩估计量

求函数 3 ( , ) ( ) 3 x x y f x y y e + = + 的极值 (18)(本题满分 10 分) 设奇函数 f（x）在【-1,1】上具有 2 阶导数，且 f（x）=1，证明：（  ）存在  （0,1）， 使得 f ( ) 1  = 。（  ）存在   −( 1,1) ，使得 f f   ( ) ( ) 1   + = 。 (19)(本题满分 10 分) 设直线 L 过 A(1,0,0) ， B(0,1,1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面  ，  与平面 z z = = 0, 2 所围成的立体为  ，( )I 求曲面  的方程， ( ) II 求  的球心方程 (20)(本题满分 11 分) 设 1 1 0 a A   =     , B = 0 1 1 b       ，当 a b ， 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CA B − = . 并求 所有矩阵 C . (21)(本题满分 11 分) 设二次型 f （ 1, 2 3 x x x, ）=2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) a x a x a x b x b x b x + + + + + 。记 1 2 3 a a a      =       ， 1 2 3 b b b      =       （  ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T   + ;（  ）若  ， 正 交且为单位向量，证明 f 在正交交换下的标准形为 2 2 1 2 2y y + 。 (22)(本题满分 11 分) 设 随 机 变 量 X 的 概 率密度为 1 2 , 0 3 ( ) 0, x x f x a     =    其他, ，令随机变量 2, 1 ,1 2 1, 2 X Y X X X    =       （I）求 Y 的分布函数。 （II）求概率 P X Y    (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 2 3 , 0 ( : ) 0, , x e x f x x     −   =    其他 其中  为未 知参数且大于零， 1 , 2, X X X n  为来自总体 X 的简单随机样本 (I)求  的矩估计量

(I)求的最大似然估计量

(II)求  的最大似然估计量