延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（考研指导）2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求 的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)若函数f(x)= ar t>0 在x=0处连续,则 b,x≤0 (4)ab=1 (Cab=0 (D)ab 【答案】A COS 【解析】Iim √x lim ∵∫(x)在x=0处连续∴=b→ab=,选A x→0 (2)设函数f(x)可导,且f(x)f(x)>0,则() (A)f(1)>f(-1)(B)f(1)|(-1)(D)f(1)0, (x)>0(1)或()0 f(x)>0(x)<0 2),只有C选项满足(1)且满足(2),所以选C (3)函数f(xy,)=x2y+=2在点(12,0)处沿向量=(2,2)的方向导数为() (A)2(B)6(C4(D2 【答案】D 解析18=12x23.81=1410==8yu=14133=2 选 (4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线v=v()(单 位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追

2017 年考研数学一真题及答案解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x  −   =     在 x = 0 处连续，则（ ） ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 0 2 A ab B ab C ab D ab = = − = = 【答案】A 【解析】 0 0 1 1 cos 1 2 lim lim , ( ) x x 2 x x f x ax ax a → → + + − = = 在 x = 0 处连续 1 1 . 2 2 b ab a  =  = 选 A. （2）设函数 f x( ) 可导，且 ' f x f x ( ) ( ) 0  ，则（ ） ( ) ( ) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) ( ) (1) ( 1) (1) ( 1) A f f B f f C f f D f f  −  −  −  − 【答案】C 【解析】 ' ( ) 0 ( ) ( ) 0, (1) '( ) 0 f x f x f x f x       或 ( ) 0 (2) '( ) 0 f x f x      ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。 （3）函数 2 2 f x y z x y z ( , , ) = + 在点 (1, 2,0) 处沿向量 u = (1,2,2) 的方向导数为（ ） ( )12 ( )6 ( )4 ( )2 A B C D 【答案】D 【解析】 2 (1,2,0) 1 2 2 {2 , ,2 }, {4,1,0} {4,1,0} { , , } 2. | u | 3 3 3 f u gradf xy x z gradf gradf u  =  =  =  =  =  选 D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1 v v t = ( ) （单 位： m s/ ），虚线表示乙的速度曲线 2 v v t = ( ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追

上甲的时刻记为(单位:s),则() 530t(s) (A)0=10(B)1525 【答案】B 【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为v(txt (t)d,则乙要追上甲,则 v2(t)-v1(ta=10,当b0=25时满足,故选C (5)设a是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则() (AE-aa不可逆(B)E+a不可逆 (C)E+2ax不可逆(D)E-2a7不可逆 【答案】A 【解析】选项A由(E-aa)=a-a=0得(E-aa)x=0有非零解,故E-a|=0。即E-a 不可逆。选项B由r(aa)a=1得aa的特征值为n1个0,1故E+aa的特征值为n-1个1,2故可逆 其它选项类似理解。 00 (6)设矩阵A=021,B=020,C=020,则( 00 001 002 (A)A与C相似B与C相似(B)4与C相似B与C不相似 (C)A与C不相似B与C相似(D)4与C不相似B与C不相似 【答案】B 【解析】由(E-A)=0可知A的特征值为2,2,1

上甲的时刻记为 0 t （单位：s），则（ ） 0 5 10 15 20 25 30 t s() v m s ( / ) 10 20 0 0 0 0 ( ) 10 ( )15 20 ( ) 25 ( ) 25 A t B t C t D t =   =  【答案】B 【解析】从 0 到 0 t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 1 2 0 0 (t) , (t) , t t v dt v dt   则乙要追上甲，则 0 2 1 0 (t) v (t) 10 t v dt − =  ，当 0 t = 25 时满足，故选 C. （5）设  是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T T T T A E B E C E D E     − + + − 不可逆 不可逆 不可逆 不可逆 【答案】A 【解析】选项 A,由 ( ) 0 − = − =     T E 得 ( ) 0 − =  T E x 有非零解，故 − =  0 T E 。即 − T E 不可逆。选项 B,由 ( ) 1   = T r 得  T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 + T E 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。 其它选项类似理解。 （6）设矩阵 2 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 , 0 2 0 , 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 A B C             = = =                   ,则（ ） ( ) ( ) ( ) , , ( ) , , A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与 相似 与 相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 与 相似 与 不相似 与 不相似 【答案】B 【解析】由 ( ) 0 E A − = 可知 A 的特征值为 2,2,1

因为3-r(2E-A)=1,∴A可相似对角化,且A~020 由E-B=0可知B特征值为2,1 因为3-r(2E-B)=2,∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化, ∴A~C,且B不相似于C (7)设A,B为随机概率,若0P(AB)的充分必要条件是() (A)P(BJA)>P(BA)(B)P(B A)P(BA) (D)P(BA)<P(BA) 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题意 设x(2米自体ND的简单样木,记它x,则下列结论中不正确 的是() (A∑(X-)服从2分布(B)2(xn-X)服从z2分布 (C)∑(X-X服从x2分布(D)以(x-)服从x2分布 【答案】B 【解析】 l1),x1-~N(0,1) →∑(X1-)-x2(m,A正确 (n-1)S2=∑(X-x)-x2(n-1),C正确 →X~N(A,),√m(x-)-N(0,1.,m(-p)2~x2(①),D正确, M12(X-X1-x(D故B错误 由于找不正确的结论,故B符合题意

因为 3 (2 ) 1 − − = r E A ，∴A 可相似对角化，且 100 ~ 0 2 0 0 0 2 A           由 E B− = 0 可知 B 特征值为 2,2,1. 因为 3 (2 ) 2 − − = r E B ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A C~ ，且 B 不相似于 C （7）设 A B, 为随机概率，若 0 ( ) 1,0 ( ) 1     P A P B ，则 P A B P A B ( ) ( )  的充分必要条件是（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A P B A P B A B P B A P B A C P B A P B A D P B A P B A     【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。 （8）设 1 2 , ( 2) X X X n n   为来自总体 N( ,1)  的简单随机样本，记 1 1 n i i X X n = =  ，则下列结论中不正确 的是（ ） ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) n i n i n i i A X B X X C X X D n X       = = − − − −   服从 分布 服从 分布 服从 分布 服从 分布 【答案】B 【解析】 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ,1), (0,1) ( ) ( ), ( 1) ( ) ( 1) C 1 ~ ( , ), ( ) (0,1), ( ) ~ (1), ( ) ~ (0, 2), ~ (1), B 2 i n i i n i i n X N X N X n A n S X X n X N n X N n X D n X X N           = = −  −  − = − −  − − −    正确 ， 正确， 正确, 故 错误. 由于找不正确的结论，故 B 符合题意

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)已知函数f()、1,则f3(0)= 【答案】f(0)=-6 【解析】 r) 1+x 1-(x)=2(-x)=>(-yx2 f(x)=∑(-1)2 n(2n-1)(2n-2)x2n3 →f(0)=0 (10)微分方程y+2y+3y=0的通解为 【答案】y=e'(ccos√2x+c2sin√2x),(c1,c2为任意常数) 【解析】齐次特征方程为+24+3=0→42=-1+√ 故通解为e'(ccos√2x+csin2x) (1)若曲线积分「x-a 在区域D={(x,y)x2+y2<1}内与路径无关,则 【答案】a=1 【解析】 2ay,由积分与路径无关知如 (x2+y2-1)2 1) (12)幂级数∑(-1)"nx”在区间(-1)内的和函数S(x) 【答案】s(x)= 【解析】∑(-)"mx=|∑(-y"x 1+x)(1+x)2 101 (13)设矩阵A=112,a,a23为线性无关的3维列向量组,则向量组Aa,Aa2,Aa3的秩为

二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 已知函数 2 1 ( ) 1 f x x = + ，则 (3) f (0) =__________ 【答案】 f (0) 6 = − 【解析】 2 2 2 2 0 0 ''' 2 3 ''' 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( 1) 2 (2 1)(2 2) (0) 0 n n n n n n n n f x x x x x f x n n n x f   = =  − = = = = − = − + − − = − − −  =    (10) 微分方程 '' ' y y y + + = 2 3 0 的通解为 y = _________ 【答案】 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x y e c x c x − = + ，（ 1 2 c c, 为任意常数） 【解析】齐次特征方程为 2 1,2    + + =  = − + 2 3 0 1 2i 故通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ) x e c x c x − + (11) 若曲线积分 2 2 L 1 xdx aydy x y − + −  在区域   2 2 D x y x y = +  ( , ) | 1 内与路径无关，则 a =__________ 【答案】 a =1 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( 1) ( 1) P xy Q axy y x y x x y  −  = =  + −  + − 由积分与路径无关知 1 P Q a y x   =  = −   (12) 幂级数 1 1 1 ( 1)n n n nx  − − =  − 在区间 ( 1,1) − 内的和函数 S x( ) = ________ 【答案】 ( ) 2 1 ( ) 1 s x x = + 【解析】 ' ' 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 (1 ) n n n n n n x nx x x x   − − − = =     − = − = =         + +   （13）设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A     =       ， 1 2 3    , , 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 1 2 3 A A A    , , 的秩为 _________

【答案】2 【解析】由a1,a2ax2线性无关,可知矩阵a1,a2,a3可逆,故 r(a,4a2,A)=r(4(a1,a2,a3)=r(4)再由r(4)=2得r(Aa1,4a2,4x)=2 (14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5d(x)+0.5d(),其中Φ(x)为标准正态分布函数,则 EX 【答案】2 【解析】F(x)=050(x)+m-2),故EX=05x0x+厂x(7, 厂(2=E=0,令2=1,则厂m(2=2(+2=8+Mm=8 因此E(X)=2 解答题:15-23小题,共%4分请解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 (15)(本题满分10分) 设函数∫(u,v)具有2阶连续偏导数,y=f(e,cosx),求 dy d 【答案】 f(,1) =f1(1) 【解析】 y=f(e, cos x)=y0)=f(1, 1) =(+f(-smx)=f(1)1+(,0=f(1) d-y Mner+ fne (-sin x)+f2e (-sin x)+f2 sin2'x+fe-f,cosx dh a2h(.1)+f(1,y-f(1 =f1(1,1) =f1(1,1)+f1(1,1)-f2(,1)

【答案】2 【解析】由 1 2 3    , , 线性无关，可知矩阵 1 2 3    , , 可逆，故 r A A A r A r A (       1 2 3 1 2 3 , , , , ) = = ( ( )) ( ) 再由 r A( ) = 2 得 r A A A (    1 2 3 , , 2 ) = （14）设随机变量 X 的分布函数为 4 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 2 x F x x − =  +  ，其中 ( ) x 为标准正态分布函数，则 EX = _________ 【答案】2 【解析】 0.5 4 ( ) 0.5 ( ) ( ) 2 2   −  = + x F x x ，故 0.5 4 0.5 ( ) ( ) 2 2   + + − − − = +   x EX x x dx x dx ( ) 0 + − = =  x x dx EX 。令 4 2 − = x t ，则 4 ( ) 2  + − −  x x dx = 2 4 2 ( ) 8 1 4 ( ) 8 ( )  + + − − + =  + =   t t dt t t dt 因此 E X( ) 2 = . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 设函数 f u v ( , ) 具有 2 阶连续偏导数， ( ,cos ) x y f e x = ，求 x 0 dy dx = ， 2 2 x 0 d y dx = 【答案】 2 ' '' 1 11 2 0 0 (1,1), (1,1), x x dy d y f f dx dx = = = = 【解析】 ( ( )) 0 ' ' ' ' ' 1 2 1 2 1 0 0 2 '' 2 '' '' '' 2 ' ' 2 11 12 21 22 1 2 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 ( ,cos ) (0) (1,1) sin (1,1) 1 (1,1) 0 (1,1) ( sin ) ( sin ) sin cos (1,1) (1,1) (1,1) x x x x x x x x x x y f e x y f dy f e f x f f f dx d y f e f e x f e x f x f e f x dx d y f f f dx = = = = =  =  = + − =  +  =  = + − + − + + −  = + − 结论： ' 1 0 2 '' ' ' 2 11 1 2 0 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) x x dy f dx d y f f f dx = = = = + −

(16)(本题满分10分)求1、km//f 【答案】 【解析】 mm0+)=h+=m(+=+-2 x2-1+1 (17)(本题满分10分) 已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定,求y(x)的极值 【答案】极大值为y(1)=1,极小值为y(-1)=0 【解析】 两边求导得: 3x2+3y2y-3+3y'=0 (1) 令y=0得x=±1 对(1)式两边关于x求导得6x+6(y)2+3y2y"+3y”=0 (2) 将x=±1代入原题给的等式中,得 y 将x=1,y=1代入(2)得y"(l)=-10 故x=1为极大值点,y(1)=1:x=-1为极小值点,y(-1)=0 (18)(本题满分10分) 设函数f(x)在区间[0,上具有2阶导数,且f(1)>0,imf(x)∠0,证明: (D)方程∫(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根 ()方程f(x)f(x)+(f(x)2=0在区间(,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 (1)f(x)二阶导数,f(1)>0,im<0 →0+x

（16）（本题满分 10 分）求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n     +    【答案】 1 4 【解析】 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 lim ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) (ln(1 ) ) 2 2 1 4 n n k k k x x x dx x dx x x dx → = n n x − + + = + = + = +  − = +     （17）（本题满分 10 分） 已知函数 y x( ) 由方程 3 3 x y x y + − + − = 3 3 2 0 确定，求 y x( ) 的极值 【答案】极大值为 y(1) 1 = ，极小值为 y( 1) 0 − = 【解析】 两边求导得： 2 2 3 3 ' 3 3 ' 0 x y y y + − + = （1） 令 y ' 0 = 得 x =1 对（1）式两边关于 x 求导得 ( ) 2 2 6 6 ' 3 '' 3 '' 0 x y y y y y + + + = （2） 将 x =1 代入原题给的等式中，得 1 1 1 0 x x or y y   = = −     = = ， 将 x y = = 1, 1 代入（2）得 y ''(1) 1 0 = −  将 x y = − = 1, 0 代入（2）得 y ''( 1) 2 0 − =  故 x =1 为极大值点， y(1) 1 = ； x =−1 为极小值点， y( 1) 0 − = （18）（本题满分 10 分） 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数，且 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → +   ，证明： () 方程 f x( ) 0 = 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； ( )  方程 ' ' 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ( )) 0 + = 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I） f x( ) 二阶导数， 0 ( ) (1) 0, lim 0 x f x f x → +  

解:1)由于mx() 0根据零点定理得 至少存在一点5∈(δ,1),使∫(5)=0,即得证 (Ⅱ)由(1)可知f(0)=0,3∈(0,1),使f(2)=0,令F(x)=f(x)f(x),则f(0)=f(5)=0 由罗尔定理n∈(0,2),使f(m)=0,则F(0)=F(7)=F(5)=0, 对F(x)在(0,),(,9)分别使用罗尔定理: 彐n∈(0.,m),n2∈(,5且n,2∈(0,1)7≠n2,使得F(n)=F(2)=0,即 F(x)=f(x)f(x)+(f(x)=0在(0,1)至少有两个不同实根。 得证 (19)(本题满分10分) 设薄片型物体S是圆锥面二=√x2+y2被柱面二2=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为 x+y2+2。记圆锥面与柱面的交线为C (1)求C在xOy平面上的投影曲线的方程 (I)求S的M质量。 【答案】6 【解析】 = (1)由题设条件知,C的方程为 →x2+y2=2x =2x 则C在xoy平面的方程为 (2)

解：1）由于 0 ( ) lim 0 x f x x → +  ，根据极限的保号性得       0, (0, ) x 有 ( ) 0 f x x  ，即 f x( ) 0  进而    x f 0 (0, ) 0   有 ( ) 又由于 f x( ) 二阶可导，所以 f x( ) 在 [0,1] 上必连续 那么 f x( ) 在 [ ,1]  上连续，由 f f ( ) 0, (1) 0    根据零点定理得： 至少存在一点   ( ,1) ，使 f ( ) 0  = ，即得证 （II）由（1）可知 f (0) 0 = ，  =   (0,1), ( ) 0 使f ，令 F x f x f x ( ) ( ) '( ) = ，则 f f (0) ( ) 0 = =  由罗尔定理   =    (0, ), '( ) 0 使f ，则 F F F (0) ( ) ( ) 0 ===   ， 对 F x( ) 在 (0, ),( , )    分别使用罗尔定理： 1 2         (0, ), ( , ) 且 1 2 1 2     , (0,1),   ，使得 1 2 F F '( ) '( ) 0   = = ，即 ( ) 2 F x f x f x f x '( ) ( ) ''( ) '( ) 0 = + = 在 (0,1) 至少有两个不同实根。 得证。 （19）（本题满分 10 分） 设薄片型物体 S 是圆锥面 2 2 z x y = + 被柱面 2 z x = 2 割下的有限部分，其上任一点的密度为 2 2 2  = + + 9 x y z 。记圆锥面与柱面的交线为 C () 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程； ( )  求 S 的 M 质量。 【答案】64 【解析】 （1）由题设条件知， C 的方程为 2 2 2 2 2 2 2 z x y x y x z x  = +   + =  = 则 C 在 xoy 平面的方程为 2 2 2 0 x y x z  + =   = （2）

m=(xy.28=j+y2+24=∫95√x+y√hh 2c056 =18|2d0 (20)(本题满分11分)设3阶矩阵A=(a1,a2,a3)有3个不同的特征值,且a3=a1+2a2 (I)证明r(A)=2 (I)若B=a1+a2+a3,求方程组Ax=B的通解。 【答案】(1)略:(Ⅱ)通解为k2+1k∈R 【解析】 (I)证明:由a3=a1+2a2可得a1+2a2-a3=0,即a2a2a3线性相关 因此,A=1a2a3|=0,即A的特征值必有0 又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0 且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为A=2,1≠2≠0 r(A)=r(A)=2 (I1)由(1)r(A)=2,知3-r(A)=1,即Ax=0的基础解系只有1个解向量 由a1+2a2-a3=0可得(a1a2a3)2=42=0,则Ax=0的基础解系为2 又B=a1+a2+a3,即(a12a)1=41|=B,则Ax=B的一个特解为1, 综上,Ax=B的通解为k2 ,k∈R

2 2 2 2 2 2 2 : 2 2cos 2 2 0 2 (x, y,z) 9 9 2 2 18 64 s s D x y x m dS x y z dS x y dxdy d r dr      +  − = = + + = + = =      （20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 A = (   1 2 3 , , ) 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2    = + 2 。 () 证明 r A( ) 2 = ； ( )  若     = + + 1 2 3 ，求方程组 Ax =  的通解。 【答案】（I）略；（II）通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R         +              − 【解析】 （I）证明：由 3 1 2    = + 2 可得 1 2 3    + − = 2 0 ，即 1 2 3    , , 线性相关， 因此， 1 2 3 A = =    0 ，即 A 的特征值必有 0。 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 1 2 1 2 , 0 0          =         ∴ r A r ( ) ( ) 2 =  = （II）由（1） r A( ) 2 = ，知 3 ( ) 1 − = r A ，即 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量， 由 1 2 3    + − = 2 0 可得 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 2 2 0 1 1    A         = =             − − ，则 Ax = 0 的基础解系为 1 2 1           − ， 又     = + + 1 2 3 ，即 ( 1 2 3 ) 1 1 , , 1 1 1 1     A         = =             ，则 Ax =  的一个特解为 1 1 1           ， 综上， Ax =  的通解为 1 1 2 1 , 1 1 k k R         +              −

21)(本题满分11分)设二次型f(x,x2x3)=2x2-x2+ax2+2xx2-8x3+2x2x3 在正交变换X=QY下的标准型y2+2y2,求a的值及一个正交矩阵Q 【答案】a=2Q=/~1 ,x=Qy-3y2+6y2 √3 【解析】 f(x1,x2,x3)=HAX,其中A=1 由于f(x1,x2,x3)=HAX经正交变换后,得到的标准形为1y2+ 21 故r(A)=2叫A=0→1-11=0→a=2, 41 将a=2代入,满足r(A)=2,因此a=2符合题意,此时A=1-11,则 AE-AF=-12+1 =0→=-3,2=0,=6, 由(-3E-A)x=0,可得A的属于特征值3的特征向量为a1=-1 由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为a2=0 由(OE-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为a3=2

（21）（本题满分 11 分）设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在正交变换 X QY = 下的标准型 2 2 1 1 2 2   y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q 【答案】 2 2 1 2 1 1 1 3 2 6 1 2 2; 0 , 3 6 3 6 1 1 1 3 2 6 a Q f x Qy y y   −       = = − = − +           【解析】 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = ，其中 2 1 4 1 1 1 4 1 A a   −   = −       − 由于 1 2 3 ( , , ) T f x x x X AX = 经正交变换后，得到的标准形为 2 2 1 1 2 2   y y + ， 故 2 1 4 ( ) 2 | | 0 1 1 1 0 2 4 1 r A A a a − =  =  − =  = − ， 将 a = 2 代入，满足 r A( ) 2 = ，因此 a = 2 符合题意，此时 2 1 4 1 1 1 4 1 2 A   −   = −       − ，则 1 2 3 2 1 4 | | 1 1 1 0 3, 0, 6 4 1 2 E A        − − − = − + − =  = − = = − − ， 由 ( 3 ) 0 − − = E A x ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1 1 1 1      = −      ； 由 (6 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 1 0 1    −   =       由 (0 ) 0 E A x − = ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 1 2 1      =      

令P=(a1,a23),则PAP=6,由于a1,a2a3彼此正交,故只需单位化即可: B=(1-1),B2=片(-10.1),B=(2,1) √3√6 则Q=(B1B2B2)= √3 √/n 6 √3互√6 x=Oy f=-3y2+6y2 (22)(本题满分11分)设随机变量X,y相互独立,且X的概率分布为P(X=0)=P(X=2)=,Y的 2y0<y<1 概率密度为∫(y)= l0.其他 (1)求P(Y≤EY) (I)求Z=X+Y的概率密度。 【答案】(P{YsE}=G:(ID()=0<=<1 <二< 【解析】 (DE()=y2 ydy== P(Y≤EY)=P(≤5)=32yy (I)F(Z)=P(Z≤)=P(X+Y≤=) P(X+Y≤,X=0)+P(X+Y≤=,X=2) =P(Y≤,X=0)+P(Y≤x-2,X=2) P(≤=)+P(Y≤-2) (1)当z<0,-2<0,而z<0,则F(Z)=0

令 P = (   1 2 3 , , ) ， 则 1 3 6 0 P AP −   −   =       ，由于 1 2 3    , , 彼 此 正 交 ，故 只 需单 位 化即 可 ： 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1, 1,1 , 1,0,1 , 1,2,1 , 3 2 6 T T T    = − = − = ， 则 ( 1 2 3 ) 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q      −       = = −          ， 3 6 0 T Q AQ   −   =       2 2 1 2 3 6 x Qy f y y = = − + （22）（本题满分 11 分）设随机变量 X Y, 相互独立，且 X 的概率分布为 1 ( 0) ( 2) 2 P X P X = = = = ，Y 的 概率密度为 2 0 1 ( ) 0, y y f y    =   ， 其他 () 求 P Y EY ( )  ( )  求 Z X Y = + 的概率密度。 【答案】 4 , 0 1 (I) { } ;(II) ( ) 9 2,2 3 Z z z P Y EY f z z z     = =   −   【解析】 1 0 2 3 0 2 ( ) ( ) 2 3 2 4 ( ) ( ) 2 3 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0) ( , 2) ( , 0) ( 2, 2) 1 1 ( ) ( 2) 2 2 z E Y y ydy P Y EY P Y ydy F Z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P Y z X P Y z X P Y z P Y z  = =  =  = =  =  = +  = +  = + +  = =  = +  − = =  +  −   （1） 当 z z  −  0, 2 0 ，而 z  0 ，则 ( ) 0 F Z z =