南京大学：《离散数学 Discrete Mathmatics》课程教学资源（课件讲稿，2018）代数系统——第18章 循环群与群同构

循环群与群同构 离散数学一代数结构 南京大学计算机科学与技术系

循环群与群同构 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系

循环群与群同构 。循环群与生成元 。循环群的子群 。群的同构与同态 。无限循环群的同构群 。有限循环群的同构群 ●（循环)群的直积 2

循环群与群同构  循环群与生成元  循环群的子群  群的同构与同态  无限循环群的同构群  有限循环群的同构群  (循环)群的直积 2

循环群与生成元 。定义（循环群)： 设G,*)为循环群(cyclic group)指： (3a∈G)(G=(a) 这里，(a〉={aln∈Z},a称为G之生成元 (generator)

循环群与生成元 3 

循环群与生成元（续) 。定义（有限循环群)：若循环群G的生成元α 的阶为n,则称G为有限循环群，即n阶循环 群：G={a°，a,a2,…,an-1,其中a为么 。定义（无限循环群)：若循环群G的生成元α 为无限阶元，则称G为无限循环群：G= {a,a1,a2,…},其中a°为幺

循环群与生成元（续） 4 

循环群与生成元（续） 。例1：无限循环群（亿，+） (Z,+)是循环群，恰有2个生成元：1和一1 'n为Z之生成元台Z=(n）台(3k∈Z)nk= 1台(3k∈Z)(k·n=1)台n∈1，-1 “.1和一1均是其生成元

循环群与生成元（续） 5 

循环群与生成元（续) 。例2：有限循环群 模6剩余加群亿6，⊕6》是循环群，恰有2个生成 元：1和5 50=0,51=5,52=4, 53=3,54=2,55=1

循环群与生成元（续） 6 

循环群与生成元（续) 。例3：非循环群 Klein四元群(W,*)不是循环群，因为对任何 xEV,(x)=e,x}: b

循环群与生成元（续） 7 

无限循环群的生成元 。命题：若a是无限循环群的生成元，则a-1也 是该无限循环群的生成元 >设群G=(a)={aka∈G,k∈Z,ak= (a-1)-k,令p=-k,则G={(a-1)Plp∈Z ,故G=(a-1〉 8

无限循环群的生成元 8 

无限循环群的生成元（续） 8命题：无限循环群有且只有2个生成元 。:设群G=(a)={ak|a∈G,k∈Z,若b亦为G的 生成元，则：(3m,t∈Z)(am=bAbt=a),故 a=bt=(am)t=amt,由消去律，amt-1=e a是无限阶元.mt-1=0→(m=t=1)V (m=t=-1),故有b=a或者b=a-1 9

无限循环群的生成元（续） 9 

有限循环群的生成元 ●命题：设有限群G=(a),且|a=n,则对任意不大于n的 正整数r,G=(a)台gcd(n,r)=1 。“=”:设gcd(n,r)=1,则（自u,v∈Z)(ur+vm= 1),因此a=aur+wn=(ar)u(a)”=(a)u。故而G 中任意元素ak可表为(a)k,故有G=(a); “→”：设a'是G的生成元，令gcd(n,r)=d且r= dt,则(an)t=(an)r/a=(a)n/a=e,故 la'l(n/d),但a'|=n故n川分→d=1,故有 gcd(n,r)=1即n与r互质。 0

有限循环群的生成元 10 