南京大学：《离散数学 Discrete Mathmatics》课程教学资源（课件讲稿，2018）代数系统——第16章 群论导引

群论导引 离散数学一代数结构 南京大学计算机科学与技术系

群论导引 离散数学－代数结构 南京大学计算机科学与技术系

回顾 运算及其封闭性 运算的性质 运算表 代数系统 ·代数系统的性质 0 结合性、交换性、分配性 0单位元、零元、逆元 ·代数系统的同构与同态 前情提要 2

回 顾 前情提要 2  运算及其封闭性  运算的性质  运算表  代数系统  代数系统的性质  结合性、交换性、分配性  单位元、零元、逆元  代数系统的同构与同态

内容提要 。引言 半群 么半群 群 群的性质 群的术语 群方程* 3

内容提要  引言  半群  幺半群  群 群的性质  群的术语  群方程* 3

引言：对称变换 ·正方形的刚体运动是从四个顶点集到它本身的 一一对应（变换)，保持相邻点之间距离不变 D

引言：对称变换  正方形的刚体运动是从四个顶点集到它本身的 一一对应（变换），保持相邻点之间距离不变 4

引言：对称变换（续） 设正方形的4个顶，点为1、2、3、4；重心为O,对角线为D1和D2,水平中线为H, 垂直中线为V。以下将从{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的一一对应记成 我们现在找出正方形所有的对称

引言：对称变换（续） 5

引言：对称变换（续） 旋转对称：由以下刚体运动完成 R1:绕O顺时针转90°，易见B1= 1234 4123 2:绕O顺时针转180°，易见B2= 1234 3412 Rg:绕O顺时针转270°，易见R3= 1234 2341 1234 R:绕O顺时针转360°，易见R0= 1234

引言：对称变换（续） 6

引言：对称变换（续） 反射对称：由以下刚体运动完成 H:对于水平中线H的反射。D1:对于对角线D1的反射。 V:对于垂直中线V的反射。D2:对于对角线D2的反射。 a(）r(）a-(a）（d

引言：对称变换（续） 7

引言：对称变换（续） ·两个对称变换的连续作用依然是对称变换 例如：R1*H指先右转90°，后 做水平反射，结果得D1,故 R1*H=D1;而H*R1=D2: 由此可以看出R1*H≠H*R1

引言：对称变换（续） 8  两个对称变换的连续作用依然是对称变换

引言：对称变换（续) Cayley Table Ro Rgo R180 R270 V H D1 D2 Ro Ro Rgo R180 R270 V A D1 D2 Rgo Rgo R180 R270 Ro D2 D1 V H R180 R180 R270 Ro Rgo H V D2 Di R270 R270 Ro R9o R180 D1 D2 H N D1 H D2 Ro R180 R90 R270 H H D2 D1 R180 Ro R270 R9o H D2 V R270 R9o R R180 D2 D2 V Di H R9o R270 R180 Ro 9

引言：对称变换（续） 9 Cayley Table

引言：对称变换（续) S={Ro:R1:R2:R3:V,H,D1:D2} *为S上的两元运算 事实上可通过函数的复合来计算积。例如 Ru* -(〔2）-(a 通过运算可知 (1)*对于S是封闭的，即(c,y∈S)(x*y∈S) (2)（付c,4,之∈S)(c*(y*)=(c*y）*) (3)(付x∈S)(Ro*x=E*R0=x) (4)（x∈S)(日y∈S)(E*y=y*x=Ro) 10

引言：对称变换（续） 10