西南财经大学：《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章（3-2）导数的四则运算法则

§3.2导数的四则运算法则 问题:由导数定义求函数导数,繁!下面推出导数的 运算法则,利用简单函数的导数便可求出任何初等 函数在其定义域内的导数 定理3.设函数f(x)与g(x)在点x处可导,则 (1)[f(x)±g(x)Y=f(x)±g(x) (2)|f(x)·g(x)=f(x)·g(x)+f(x)·g'(x) (3)f(x)1_f(x):g(x)-f(x),8(x) (g(x)≠0) g(x) g2(x)

1 定理3. 设函数 ƒ(x) 与 g(x) 在点 x 处可导, 则 2 (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ) (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ( ) 0) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x  =      =  +           −    =    §3.2 导数的四则运算法则 问题：由导数定义求函数导数, 繁!下面推出导数的 运算法则, 利用简单函数的导数,便可求出任何初等 函数在其定义域内的导数

证(1).令y=∫(x)+g(x),则 Δy[f(x+△x)+g(x+△x)-[∫(x)+g(x) x △ ∫(x+△x)-f(x),[g(x+△x)-g(x) △ A im=limf(x+△)-f(x) △x→>0△v△x+0 △v +im&(x+Ax)-8(x) =f(x)+g(x) Ar→>0 △v 即[f(x)+g(x)=∫(x)+g'(x) 同理可证[∫(x)-g(x)=∫(x)-g(x)

2 (1). ( ) ( ), [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] y f x g x y f x x g x x f x g x x x = +  +  + +  − + =   证 令 则 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] f x x f x g x x g x x x +  − +  − = +   0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x x y f x x f x x x g x x g x f x g x x  →  →  →  +  − =   +  − + = +    即 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f x g x f x g x + = +    同理可证 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f x g x f x g x − = −   

(2)令y=∫(x)·g(x), 则 Δyf(x+△x)·g(x+△x)-f(x)·g(x) △ f(x+△x)-f(x) g(x+△x)+f(x) g(x+△x)-g(x) 由可导必连续有 lim ay= lir ∫(x+△x)-∫(x) m limg(x+△x) △x→>0△x△x→0 +(x)m(x+△x)-g(x) △x→>0 △ ∫'(x)g(x)+f(x)g(x) 即[∫(x)g(x)"=∫(x)g(x)+∫(x)g(x)

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , f x x f x g x x g x g x x f x x x +  − +  − = +  +   0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x x x y f x x f x g x x x x g x x g x f x x  →  →  →  →  +  − =  +    +  − +   由可导必连续有 = + f x g x f x g x   ( ) ( ) ( ) ( ); 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x f x g x f x g x  = +    ( ) ( ) ( ) ( ) y f x x g x x f x g x x x  +   +  −  =   则 (2) ( ) ( ), 令 y f x g x = 

(3)令y f(r) glr 则。f(x+△x)8(x)-f(x):g(x+△x) △ g(x)g(x+△x)△x im今y=linU(x+△)-f(x):8(x)-f(x)8(x+△)-8(x △x→0△x△x→0 g(x)g(x+△x)△x (x)8(x)-f(x)g(x) 8(x) 推论1 ∑∫(x)=∑x);特别要注意lu(x)+CI=l(x)

4 ( ) (3) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y g x y f x x g x f x g x x x g x g x x x =  +   −  +  =  +   令则 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim lim ( ) ( ) x x y f x x f x g x f x g x x g x  →  → x g x g x x x  +  −  −  +  − =  +   2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x g x   − = 推论 1 1 1 [ ( )] ( ) ; n n i i i i f x f x = =    = 特别要注意[ ( ) ] ( ). u x C u x + = 

推论2 山f(x=fx)(x)f(x)+(x)f(x)f(x)+…+1(x)(x)f(x i=1 特别要注意[Cu(x)=Cu'(x) 3)中的f(x)=1时, g(r g(x) 8(x) 例5已知 y=x+3lnx-3cos x +sin 求 dh 3 解 2x+-+sinx dx d T 3 6 de|kg=2.++3sn=+0+3

5 1 2 1 2 1 2 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n i n n n i f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x =      = + + + 例5.已知 2 2 100 3ln 3cos sin , 2 x dy y x x x a dx   = = + − + − 求 2 1 ( ) (3) ( ) 1 [ ] ( ) ( ) g x f x g x g x  中的 = = − 时，  特别要注意 [ ( )] ( ). Cu x C u x   = 3 2 3sin dy x x dx x 解 = + + 2 2 3 6 2 3sin 3 2 2 x dy dx        =  + + = + + = 推论2

例6求下列函数的导数 (1)y=x+log3X(2)∫(x)=xlmx·sinx 3)y=tan x (4y=sec x 1-cos x (5)y (1)y=(x'+log x)'=3x+-log3e (2)∫"(x)=( xInx sinx) =Inx sinx+ sinx+xInx. cos x

6 例6.求下列函数的导数 3 3 (1) log (2) ( ) ln sin (3) tan (4) sec 1 cos (5) 1 y x x f x x x x y x y x x y x = + =  = = − = − (2) '( ) ( ln sin )' f x x x x =  3 3 (1) ' ( log )' y x x = + 2 3 1 3 + log x e x = =  + +  ln sin sin ln cos x x x x x x

3(tan x) sin x(sin x) cosx-sin x(cosx cos cosx+sin x sec d cos d 同理:(cotx)"=-csc2x 1(cos x) sinx (4)(ecx) tanx secx cosx cos X cos d 同理:(cscx)=-cotx·cscx (5)υ’(1-c0sx)(-x)-(1-cosx)(1-x) (1-x)2 (1-x)sin x+(1-cos x)

7 sin (3) (tan ) cos x x x     =     1 (4) (sec ) cos x x     =     2 (1 cos ) (1 ) (1 cos )(1 ) (5) (1 ) x x x x y x − − − − −    = − 2 (sin ) cos sin (cos ) cos x x x x x   − = 2 2 2 2 cos sin sec cos x x x x + = = 2 (cos ) cos x x −  = 2 sin tan sec cos x x x x = =  同理: (csc ) cot csc x x x  = −  2 (1 )sin (1 cos ) . (1 ) x x x x − + − = − 2 同理: (cot ) csc x x  = −

例7设函数∫(x) 1)(x-2)…(x 求∫'(1) (x+1)(x+2)…(x+n) 解令g(x)= (x-2)…(x-n) (x+1)(x+2)…(x+n 从而g(x)在x=1处可导,则f(x)=(x-1)g(x) →f(x)=(x-1)g(x)=g(x)+(x-1)g'(x) →f(D)=8(1)+0·g'(1)=(-1)11 n(n+1) 此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法 来讲解. P993题 令fx=1+2x+3x2+…+nxn(x+x2+x3+…+x")y (1-x

8 例7.设函数 ( 2) ( ) ( ) , ( 1)( 2) ( ) x x n g x x x x n − − = + + + 解 令 ( 1)( 2) ( ) ( ) , (1). ( 1)( 2) ( ) x x x n f x f x x x n − − − =  + + + 求 从而 ( ) 1 ( ) ( 1) ( ) g x x f x x g x 在 = = − 处可导, 则  = − = + − f x x g x g x x g x    ( ) [( 1) ( )] ( ) ( 1) ( ) 1 1 (1) (1) 0 (1) ( 1) . ( 1) n f g g n n −  = +  = −   + 此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法 来讲解. P99.3题 2 1 1 2 3 n f(x) x x nx − 令 = + + + + 2 3 (1 ) ( ) 1 n n x x x x x x x    − = + + + + =     −