西南财经大学：《微积分》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章（7-2）正项级数

97.2正项级数 正项级数的概念 定义3若数项级数∑中的各项"n≥0m=1,2,), 则称此级数为正项级数 例如 1+(-1) 1+0+1+0+ 处h 2 H=1 注1不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 注2因为对任意n∈N均有各项n≥0则有 S,=S+ n+1 于是正项级数的部分和是一个单增数列{sSn}

1 则称此级数为正项级数。 1 n中的 n u  =  1 1 1 1 1 ( 1) , 1 0 1 0 2 例如 n n n n   − = = + −   = + + + + 注1 不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问 题.请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。 §7.2 正项级数 一.正项级数的概念 定义3 若数项级数 0( 1,2, ), 各项 u n n  = 注2 因为对任意 n N  均有各项 0 un  S S u n n n + + 1 1 = + 则有 于是正项级数的部分和是一个单増数列 . Sn

定理6正项级数∑un收敛的充要条件是部分和序列 3Sn}有上界。 证“→”有单调有界准则知极限imSn存在, 从而正项级数收敛 ”若∑“n收敛,则mmSn存在, 由极限存在准则知,S,有界,从而Sn有上界 其等价命题是 “若S,无上界,则limS=+∞,从而正项级数发散。 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法

2 定理6 正项级数 收敛的充要条件是部分和序列 有上界。 1 n n u  =  Sn  证 “⇒”有单调有界准则知极限 存在， “⇒”若 收敛, 则 存在, lim n n S → Sn 其等价命题是 lim , n n S → = + 下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法。 从而正项级数收敛. 1 n n u  =  由极限存在准则知, lim n n S → Sn 有界, 从而 有上界。 “若 Sn 无上界, 则 从而正项级数发散

定理7(比较判别法)设两个正项级数∑u及∑ 的对应项满足:Ln≤cvn(n=1,2,…,c>0) 则(1)当级数∑vn收敛时,级数∑n也收敛 (大收小收) (2)当级数∑u1发散时,级数∑"也发散。 n=1 (小发大发) 证设∑"n,Σ部分和分别是Sn,T, 因un≤c"n(n=1,2,…,c>0) 于是,Sn=u1+u2+…+Ln≤c(v1+v2+…+vn)=cTn

3 定理7 (比较判别法) 设两个正项级数 的对应项满足: 1 1 n n n n u v   = =  及 ( 1,2, , 0) u cv n c n n  =  则 (1)当级数 收敛时, 级数 也收敛; 1 n n v  =  1 n n u  =  （大收小收） (2)当级数 1 n n u  =  发散时, 级数 1 n n v  =  也发散。 （小发大发） 证 设 1 n n v  =  1 , n n u  =  部分和分别是 , , S Tn n ( 1,2, , 0) 因 u cv n c n n  =  1 2 1 2 , ( ) 于是 S u u u c v v v cT n n n n = + + +  + + + =

则(1)当级数∑收敛时,工有上界,那么S也有界。 H=1 故级数∑n收敛。 (2)当级数∑"发散时,m=+于是imrn=+o0 故级数∑发散。 注3因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4当级数∑发散时不一定有级数∑发散。 H=1 例 ∑ n(n1) ≤≤,但∑发散,而 收敛。 n n in(n+1)

4 则 (1)当级数 1 n n v  =  收敛时, T n 有上界, 那么S 也有界。 n 故级数 1 n n u  =  收敛。 (2)当级数 1 n n u  =  发散时, lim , n n S → = + lim n n T → 于是 = + 故级数 1 n n v  =  发散。 注3 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故 定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。 注4 当级数 1 n n v  =  发散时,不一定有级数 1 n n u  =  2 1 1 1 1 1 , ( 1) n n n n n n  =   + 例 但  发散，而 1 1 n n n( 1)  = +  发散。 收敛

侧剪定级数2地2n的散性 解1因"sin|<x(2 3 2 而z∑ 3 收敛,则∑2sy收敛 2.因 n·2n2″ 而∑收敛,则∑收敛 nE n

5 例6 判定级数 1 1 1 1. 2 sin ; 2. 3 2 n n n n n n    = =    的敛散性. 2 1. 2 sin ( ) 3 3 n n n  解 因   1 1 2. 2 2 n n n   因 1 2 sin 3 n n n   =  1 2 ( ) 3 n n   = 而  收敛, 则 收敛; 1 1 2 n n n  =   1 1 2 n n  = 而  收敛, 则 收敛

例7判定p级数 =1++…++…(P>0) 2 的敛散性 解(1)当p≤1时,因为n"≤m有 由于∑发散,则∑,发散 2)当图1时,设n-1x5m2,有 0< p-1(n-1) 令L 1-1且∑n的部分和是S P-1(n-1) H=2

6 例7 判定p级数 1 1 1 1 1 ( 0) 2 p p p n p n n  =  = + + + +  1 1 n n  = 由于 的敛散性。 解 (1)当 p≤1 时, 因为 p n n  ， 1 1 , p n n 有  1 1 p n n  = 发散, 则  发散。 (2)当 p≤1 时, 设 n x n n −    1 2 , （ ）有 1 1 p p n x  1 1 n n 1 1 p p n n dx dx − − n x    1 0 p n  = 1 1 1 1 1 [ ] 1 ( 1) p p p n n − − = − − − 1 1 2 1 1 1 [ ] , 1 ( 1) n n n p p n u u S p n n  − − = = − − − 令 且 的部分和是 

)+…+( p 3 (n+1) 1 P-1(n+1) 于是lims.=lin1 n→0 n→0 P (n+1) p-1 故∑n收敛,则 ∑ 收敛 重要结论:级数2在当p>1时收敛 当p≤1时发散

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( )] 1 2 2 3 ( 1) n p p p p p S p n n − − − − − = − + − + + − − + 1 1 1 [1 ] 1 ( 1) p p n − = − − + 1 1 1 lim lim [1 ] 1 ( 1) n p n n S p n → → − = − − + 于是 2 n n u  = 故  收敛, 则 1 1 p n n  =  收敛。 1 p 1 = − 重要结论: p级数 在当 p>1时收敛; 1 1 p n n  =  当 p≤1 时发散

例8判定级数(∑ ∑ n√yn(n+1 n=4√n3-10n 的敛散性。 解(11 n(n+ 1)√n+1(n+1)n+1 而 发散,则∑ 发散。 n=1n+1 n√n(n+1) (2因n3-10n>(n-1)3(n≥5)→ n3-10n(n-1) 而∑ 收敛,则∑ 收敛。 n=2(n-1)2 10n

8 例8 判定级数 3 1 4 1 1 (1). ; (2). n n n n( 1) n n 10   = = + −   1 1 1 (1) n n n n ( 1) ( 1)( 1) n 1  = + + + + 解 因 3 3 2 1 1 n n 10 ( 1) n  − − 3 2 2 1 n ( 1) n  = − 而 3 4 1 n n n 10  = −  的敛散性。 1 1 n n 1  = + 而  发散, 则 1 1 n n n( 1)  = +  发散。 收敛, 则 收敛。 3 3 (2) 10 ( 1) ( 5) 因 n n n n −  −  

定理8(比较判别法的极限形式) 若两个正项级数∑及之满足:m=k, (1)当0N n-7oo y 2 k u. 3k 有-k<分0 2 于是2"<n<2w,则级数∑和∑"同敛散

9 定理8 (比较判别法的极限形式) 1 1 n n n n u v   = =  及 lim , n n n u k → v = , , 2 k  =   N n N 使得 若两个正项级数 满足: (1)当0<k<+∞时, 级数 1 1 n n n n u v   = =  和 同敛散; (2)当k= 0且级数 1 n n v  =  也收敛; 1 n n u  = 收敛时, 级数  (3)当k= +∞且级数 也发散. 1 n n v  =  发散时, 级数 1 n n u  =  3 0 2 2 2 n n n n u u k k k k v v 有 −      (1) lim , n n n u k → v 证 由 = 则对于 3 , 2 2 n n n k k 于是 v u v   1 1 n n n n u v   = = 则级数  和 同敛散;

推论若正项级数∑和∑的通项n与vn为同阶 或等价无穷小量,则∑u和∑v同敛散 n 注5在使用比较判别法的极限形式时首先观察级数 的一般项u是否趋向于0若n→0(n→∞那么就看un N是的多少阶无穷小 如例8中的两个级数( (2)∑ vn(n+ 1) H=4 10n 有()1→0n→∞,而in n(n+1 n li n(n+1) n→0 n√m(n+1)

10 0( ) un u n n → →  ， un 1 p n 推论 若正项级数 1 1 n n n n u v   = =  和 的 通项 u v n n 与 或等价无穷小量, 则 1 1 n n n n u v   = =  和 同敛散. 注5 在使用比较判别法的极限形式时,首先观察级数 如例8中的两个级数 3 1 4 1 1 (1) ,(2) n n n n( 1) n n 10   = = + −   1 (1) 0( ), ( 1) n n n → →  + 有 1 ( 1) lim lim 1 1 ( 1) n n n n n n n n → → + = = + 而 为同阶 是 的多少阶无穷小. 的一般项 是否趋向于0,若 那么就看