西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.7 不变子空间

第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间S3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量s9最小多项式S5对角矩阵小结与习题

§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵

S 7.7线性变换的定义一、不变子空间的概念二线性变换在不变子空间上的限制三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解67.7不变子空间A

§7.7 不变子空间 一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 §7.7 线性变换的定义 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解

一、不变子空间1、定义设o是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若VεW,有o()W(即o(W)W)则称W是的不变子空间，个简称为α一子空间注：V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是一子空间。7.7不变子空间A

§7.7 不变子空间 设  是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若   W , 有    ( ) ( )   W W W (即 ) 则称W是  的不变子空间，简称为  －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换  来说，都是  －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注：

2、不变子空间的简单性质1）两个α一子空间的交与和仍是α一子空间2）设 W=L(αj,α2,α,)，则W是一子空间αo(α,),o(α,),..,o(α,)e W.证："→"显然成立。""任取5eW,设5= kjαi +k,α, +..+k,αs,则() = k,o(α)+k,o(α2)+...+k,o(α,).由于 o(α,),o(α,),.",o(α,)eW, :. ()eW.故W为α的不变子空间.87.7不变子空间Λ

§7.7 不变子空间 1）两个  －子空间的交与和仍是  －子空间. 2）设 W L = ( , , ),    1 2 s 则W是  －子空间 1 2 ( ), ( ), , ( ) .         s W 证： " "  显然成立. " "  任取  W , 设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s         = + + + k k k 故W为  的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1 2 ( ), ( ), , ( ) ,       s W    ( ) . W

3、一些重要不变子空间1）线性变换α的值域 α(V)与核α-(0)都是的不变子空间.证: : o(V)={o(α)]αeV)=V,.:. Vsea(V), 有o(5)eo(V).故 α(V)为α的不变子空间.又任取-(0), 有()=0-(0)：α-1(0)也为的不变子空间.67.7不变子空间区区

§7.7 不变子空间 1）线性变换  的值域  ( ) V 与核 ( ) 都是 的 1  0 −  不变子空间. 证：     ( ) ( ) , V V V =             (V V ), ( ) ( ). 有 故  ( ) V 为  的不变子空间. 又任取 ( ) 有 1   0 , −  1    ( ) 0 (0). − =  3、一些重要不变子空间 1  (0) −  也为  的不变子空间

2）若T=，则 (V)与 -1(O)都是一子空间,证: : t(V)={t(α)αeV),:. 对 VEEt(V),存在 αV, 使 =t(α),于是有，() =(t(α) = Qt(α) = To(α) = t(α(α)) t(V).t(V)为α的不变子空间.其次, 由 -"(0)={α|αeV,t(α)=0),:. 对Vet-I(0),有t()=0.87.7不变子空间

§7.7 不变子空间 2）若   = , 则  ( ) V 与 都是 －子空间. 1  (0) −  证：     ( ) ( ) . V V =        对    ( ), , V V 存在 使    = ( ), 于是有，              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = =  ( ) ( ) V  ( ) V 为  的不变子空间. ( )  ( )  1      0 , 0 , V − 其次，由 =  = 对 ( ) 有 1   0 , −     ( ) = 0

于是 t(α())= to() =t()=α(t()=(0) = 0... 0() e t'(0).故-(の)为α的不变子空间.注：: af(α)= f(o)o：α的多项式f()的值域与核都是的不变子空间这里f(x为P[x|中任一多项式67.7不变子空间区区

§7.7 不变子空间 于是            ( ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ) = = = = = ( ) ( ) 1    ( ) 0 . −   故 ( ) 为 的不变子空间. 1  0 −    的多项式 f ( )  的值域与核都是  的不变子空间. 这里 f x( ) 为 P x[ ] 中任一多项式.     f f ( ) ( ) = 注：

3）任何子空间都是数乘变换K的不变子空间，4)线性曼颊的得征孕坚尚V，是α的不变子空间.(:VsVa0有g(s)=aseV.)由的特征尚量星成的空间是的不变子空间。50证：设α,α2,,α,是的分别属于特征值,2,",s的特征向量. 任取 L(αi,α2,"",α,),设 = k,αi +k,α, +.+k,αs,则o()= kaa, + k,2α, +...+ k,a,a, E L(α1,α2,"",α,)L(α,αz,…,α)为的不变子空间.87.7不变子空间会

§7.7 不变子空间 (    =     W k W , ) 4）线性变换  的特征子空间 是 的不变子空间. 0 V  (   =       V V   o o o , . 有 ( ) ) 5）由  的特征向量生成的子空间是  的不变子空间. 证：设    1 2 , , , s 是  的分别属于特征值 1 2 , , ,   s 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换  的不变子空间. 任取 1 2 ( , , , ), L s      设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) s s s s            = + + +  k k k L 1 2 ( , , , )  L    s 为 的不变子空间

注：特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一个一维一子空间，反过来，一个一维一子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间事实上，若 W=L()={P,0)则为 L()的一组基． 因为W为α一子空间,： ()eW, 即必存在 eP, 使 α()=.：是的特征向量.67.7不变子空间区区

§7.7 不变子空间 事实上，若 W L k k P = =   (   )  , 0 .  则  为 L( ) 的一组基. 因为W为  －子空间，    ( ) , W 即必存在   P, 使    ( ) = .   是  的特征向量. 特别地，由  的一个特征向量生成的子空间是一 个一维  －子空间.反过来，一个一维  －子空间 必可看成是  的一个特征向量生成的子空间. 注：

二、在不变子空间W引起的线性变换定义：设是线性空间V的线性变换，W是V的一个的不变子空间．把α看作W上的一个线性变换，称作a在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在不变子空间W上的限制.记作α87.7不变子空间A

§7.7 不变子空间 二、  在不变子空间W引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 . W   在不变子空间W上引起的线性变换，或称作  在 设  是线性空间V的线性变换，W是V的一个  的 不变子空间. 把  看作W上的一个线性变换，称作