深圳大学：《激光原理》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 电磁场和物质的共振相互作用 第三部分 典型激光器速率方程

3.4典型激光器速率方程，表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激光器速率方程组(rateequations)。·归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系统。·激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收概率的基本关系式

3.4 典型激光器速率方程 • 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。 • 归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。 • 激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收概率的基本关系式

1爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用的关系式spdtW2,n2, W21 = B21P,SdtY= W2n,Wi2 = Bi2P,Sdt8元hv3A=n,hv,Bi2fi= B2iJ

1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质 相互作用的关系式 21 21 2 21 21 2 21 21 12 12 1 12 12 3 21 3 12 1 21 2 21 ( ) ( ) , ( ) , 8 , sp st st dn A n dt dn W n W B dt dn W n W B dt A h n h B f B f B c         = = = = = = = =

2考虑线型函数后必要的修正线型函数可以理解为跃迁概率按频率的分布函数P(v) = Pg(v, Vo) = n,hVoA2ig(v, Vo) = n,hVoA2i(v)A2i(v) = A2ig(v,Vo)A2(v)dv = /A2ig(v,vo)dv = A2A2i(v)表示在总自发跃迁概率A2i中，分配在频率v处单位频率内的自发跃迁概率；W2i(v)表示在辐射场Pv作用下的总受激跃迁概率W2,中，分配在频率v处单位频率内的受激跃迁概率3B2i(v) = B21g(v,Vo) :8元hv3 A21(vcA2i(v)W2i(v) = B21(v)pv = B21g(v, Vo)p8元hv3 g(v,Vo)8元hV

2 考虑线型函数后必要的修正 线型函数可以理解为跃迁概率按频率的分布函数             ( , ) ~ ( ) ( ) ( ) 8 ( , ) ~ ( ) 21 21 21 0 3 21 3 21 21 0 W B B g A h c B B g = = = = ( , ) ( ) ~ ( , ) ~ ( ) P  = Pg   0 = n2 h 0 A2 1g   0 = n2 h 0 A2 1  ( , ) ~ ( ) A21  = A21g   0 ( , ) ~ ( ) 8 8 0 21 3 3 3 21 3 21        g A h c A h c B = = 21 21 0 21 ( , ) ~ A ( )d = A g d = A   + − + −      A21()表示在总自发跃迁概率A21中，分配在频率处单 位频率内的自发跃迁概率； W21()表示在辐射场作用 下的总受激跃迁概率W21中，分配在频率处单位频率 内的受激跃迁概率

对表达式进行修正nn,A2i(v)d v = n,A,Ydtn,W2i(v)d v = n,B21 /g(v,vo)p,dvstdt该积分与辐射场p,的带宽△v'有关A：原子和连续光辐射场的相互作用，△v>>△vB：原子和准单色光辐射场相互作用，△v<<△v

   + − + − + − = = = =         n W d n B g  d dt dn n A d n A dt dn s t s p ( , ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 对表达式进行修正 该积分与辐射场的带宽有关。 A: 原子和连续光辐射场的相互作用， B: 原子和准单色光辐射场相互作用，      

3原子和准单色光相互作用，由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互作用，辐射场p'的中心频率为V，带宽为△v'，且△v'<<△v。被积函数只在中心频率v附近的一个极窄范围内才有非零值。在此频率范围内，g(v,vo)可以近似看成不变。引入函数pv=ps('-)o表示频率为v的准单色光辐射场的总能量密度，Jm-3dpo(v-v)dv=pB.1g(v',vo)ps(v-v)dv=n,B2ig(v,vo)paSdt

3 原子和准单色光相互作用 • 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场 的中心频率为 ，带宽为，且 << 。被积函数只在中心频率附近的一个极 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， 可 以近似看成不变。 • 引入函数 =(-)       ( , ) ~ ( , ) ( ) ~ ( ) 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 n B g d n B g dt dn s t =   −  =  + − 表示频率为的准 单色光辐射场的总 能量密度，Jm-3          + − + − d  = ( − )d  = ( , ) ~   0 g 

·在频率为v的单色辐射场的作用下，受激跃迁概率为W21 = B21g(v, Vo)pWi2 = Bi2g(v,Vo)p由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频率并不一定要精确等于原子发光的中心频率v才能产生受激跃迁，而是在v=V.附近一个频率范围内都能产生受激跃迁。在v=v.时跃迁几率最大；当v偏离v时，跃迁几率急剧下降。W21 = 021(V, Vo)UN)激光器内p与第模内的光子W12 = 12(V, Vo)UN数密度N的关系为p=NhvD为工作物质中的光速

• 在频率为的单色辐射场的作用下，受激跃迁概率为 21 21 0 W B g = ( , )    l l W N W N         ( , ) ( , ) 12 12 0 21 21 0 = = 由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频 率并不一定要精确等于原子发光的中心频率0 才能产生受激跃迁，而是在=0附近一个频率 范围内都能产生受激跃迁。在=0时跃迁几率 最大；当偏离0时，跃迁几率急剧下降。 激光器内ρ与第l模内的光子 数密度Nl的关系为ρ= Nlh 为工作物质中的光速 12 12 0 W B g = ( , )   

4发射截面和吸收截面·2i(v, V)和12(v,Vo)分别称为发射截面和吸收截面，它们具有面积的量纲Ai0?中心频率处的发射截面与吸g(v,vo)21(V, Vo)28元V收截面最大。当v=Vo时，均匀加宽物质和非均匀加宽物Aiu?J2质的发射截面分别为1.Vo)g(v,vo)0128元Vfi/ln 2v° A21? A20214元2V△VH4元3/2 V%△VD洛伦兹线型高斯线型

4 发射截面和吸收截面 ( , ) ~ 8 ( , ) ( , ) ~ 8 ( , ) 2 0 0 2 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 2 2 1 2 1 0                 g A f f g A = = H D A A            =  = 2 0 3 2 2 1 2 2 2 1 0 2 2 1 2 2 1 4 ln 2 , 4 • 21(,0 )和12(,0 )分别称为发射截面和吸 收截面，它们具有面积的量纲 中心频率处的发射截面与吸 收截面最大。当=0时，均 匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为 洛伦兹线型 高斯线型

8元VWat = Aig(v) N,=-=- Ag(vVo) N,V = A1g(v)1nnn.Vn,VnvW21A21g(v,vo)n为腔内第模内的总光子数=α, =n,Vnin：腔内单位体积中频率处于v附近单位频率间隔内的光波模式数得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁概率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。W21 =a,n, Wiz = 2a,nfi

l l nl n V A g N V n V A g N n A g W        ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 = = = n V A g a n W l l  ( , ) ~ 21 21 0 = = nl为腔内第l模内的总光子数 得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 概率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。 l l al nl f f W a n W 1 2 21 12 = , = n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内 的光波模式数 3 2 8 c n   =

对W1作出近似计算，设谱线的总自发辐射跃迁概率为A21，谱线宽度为△v，并假设A,,均匀分配在△v所包含的所有模式上，则分配在一个模式上的自发辐射跃迁几率为A21a, =n,VvW21=n.VAvn.△aW.fifi nVAvfinAv

• 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁概率为A21，谱线 宽度为，并假设A21均匀分配在所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为   = n V A al 21 l l N n A n V A n W     =  = 2 1 2 1 2 1     =  = = n A N f f n V A n f f W f f W l 2 1 l 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

5单模振荡速率方程组三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间变化的规律dns = nW13 -n;(S32 + Ag1)n为单位体积dt工作物质内的dnz = n,Wi - n,W21 - n (S.1 + Aa1) + n,Ss2总粒子数，第dt1个模式的光ni +nz +n3 =n子寿命为RI工作物质长度N,dN,= n,W211-nW[等于腔长L。dtTRl

5 单模振荡速率方程组 三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间 变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间 变化的规律 R l l W Nl n W n dt dN n n n n nW n W n S A n S dt dn nW n S A dt dn  = − − + + = = − − + + = − + 2 2 1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 3 1 3 ( ) ( ) n为单位体积 工作物质内的 总粒子数，第 l个模式的光 子寿命为Rl， 工作物质长度 l等于腔长L