深圳大学：《激光原理》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 开放式光腔与高斯光束 第四部分 稳定球面腔中的模结构

$2.4稳定球面腔中的模结构·方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模，一般稳定球面腔的模式特征

§2.4 稳定球面腔中的模结构 • 方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模 • 一般稳定球面腔的模式特征

方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模·方形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是长椭球函数（本征函数一角向/本征值一径向）；圆形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是超椭球函数·在x<<a，<<a的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米特多项式和高斯函数的乘积当腔的菲涅耳数N（a?L2）→8时，圆形镜共焦腔自再现模可用拉盖尔---高斯函数描述·知道了镜面上的场以后，如何求出共焦腔中任一点的场?利用菲涅耳一基尔霍夫衍射积分

方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模 • 方形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是长椭球 函数（本征函数－角向/本征值－径向）；圆形镜共 焦腔模式积分方程的精确解析解是超椭球函数 • 在x<<a，y<<a的区域内，即在共焦反射镜面中心附 近，角向长椭球函数可以表示为厄米特多项式和高 斯函数的乘积 • 当腔的菲涅耳数N（a 2 /L）→时，圆形镜共焦腔自 再现模可用拉盖尔-高斯函数描述 • 知道了镜面上的场以后，如何求出共焦腔中任一点 的场？ 利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分

. The Hermite-Gaussian or Laguerre-Gaussianmode are exact and yet mathematicallyconvenient solutions to the paraxial waveequation in free space. They also provide veryclose (though not quite exact) approximationsfor the transverse eigenmodes of stable laserresonators with finite diameter mirrors基横模镜面上场分布腔中任一点的场分布方形镜共焦腔厄米特一高斯函数厄米特一高斯函数高斯函数圆形镜共焦腔拉盖尔一高斯函数拉盖尔一高斯函数高斯函数

镜面上场分布 腔中任一点的场分布 基横模 方形镜共焦腔 厄米特—高斯函数 厄米特—高斯函数 高斯函数 圆形镜共焦腔 拉盖尔—高斯函数 拉盖尔—高斯函数 高斯函数 •The Hermite-Gaussian or Laguerre-Gaussian mode are exact and yet mathematically convenient solutions to the paraxial wave equation in free space. They also provide very close (though not quite exact) approximations for the transverse eigenmodes of stable laser resonators with finite diameter mirrors

一、镜面上场的振幅和相位分布·对称共焦腔基模在镜面上的分布·高阶横模（强度花样）·相位分布·单程损耗·单程相移和谐振频率

• 对称共焦腔基模在镜面上的分布 • 高阶横模（强度花样） • 相位分布 • 单程损耗 • 单程相移和谐振频率 一、镜面上场的振幅和相位分布

1、对称共焦腔基模在镜面上的分布为什么函数？(L2/元)Voo(x, y) = CooeLaVoo(r,Φ) = Cooe元基模在镜面上的分布是高斯型的

       L v r C e v x y C e s r L x y s = = = − + − 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( , ) , ( , ) 2 0 2 2 2 1、对称共焦腔基模在镜面上的分布为 基模在镜面上的分布是高斯型的 什么 函数？

·在离中心的距离为r=2+y=//元处场的振幅降落为中心处的1/e，通常就用半径r=/L△/元的圆来规定基模光斑的大小，并定义=L/元为共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径·共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向几何尺寸无关，只决定于腔长。·举例。共焦腔模的场主要集中在镜面中心附近

• 在离中心的距离为 处场的振幅降 落为中心处的1/e，通常就用半径 的圆 来规定基模光斑的大小，并定义 为共 焦腔基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。 • 共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向 几何尺寸无关，只决定于腔长。 • 举例。 r = x + y = L  2 2 r = L  0s = L  共焦腔模的场主要集中在镜面中心附近

2、高阶横模一一方形镜的TEMm模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米特多项式与高斯分布函数的乘积，厄米特多项式的零点决定场的节线，厄米特多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单调下降的特性决定着场分布的外形轮廓。m阶厄米特多项式有m个零点，TEMm模沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。(P55)

2、高阶横模——方形镜的 • TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄 米特多项式与高斯分布函数的乘积，厄米特 多项式的零点决定场的节线，厄米特多项式 的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增 大而单调下降的特性决定着场分布的外形轮 廓。 • m阶厄米特多项式有m个零点， TEMmn模沿x 方向有m条节线，沿y方向有n条节线。(P55)

·对厄米特一高斯函数，高阶横模的光斑尺寸定义为其坐标均方差的四倍·高阶横模与基模光斑尺寸之比为のns =2ms=2m+1V2n+1Qos0

• 对厄米特－高斯函数，高阶横模的光斑尺 寸定义为其坐标均方差的四倍 • 高阶横模与基模光斑尺寸之比为 2 1 0 = m + s ms   2 1 0 = n + s ns  

高阶横模圆形镜的圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔一高斯函数所描述，镜面上用极坐标（r,β）表示、基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，整个镜面上没有场的节线模沿，对高阶横模，镜面上出现节线。TEMm辐角（β）方向的节线数目为m，沿径向（r方向）的节线圆数为n，各节线圆沿r方向不是等距分布的。(P63）高阶横模的光斑半径のmns定义为场振幅降落到最外面一个极大值的1/e的点与镜面中心的距离

• 圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔—高斯函 数所描述，镜面上用极坐标（r , ）表示。 • 基模在镜面上的振幅分布是高斯型的，整个 镜面上没有场的节线。 • 对高阶横模，镜面上出现节线。TEMmn模沿 辐角（）方向的节线数目为m，沿径向（r 方向）的节线圆数为n，各节线圆沿r方向不 是等距分布的。(P63) 高阶横模的光斑半径 mns定义为场振幅降落到最外面一个极大值的 1/e的点与镜面中心的距离。 高阶横模——圆形镜的

3、相位分布。镜面上场的相位分布由自再现模vmm(x,y)或vmm(r,）的辐角决定Vmm(x,y)与Vmm(r,の）均为实函数，表明镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面，无论对基模或高阶横模，情况都是一样

3、相位分布 • 镜面上场的相位分布由自再现模 或 的辐角决定。 • 与 均为实函数，表明镜面上 各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构 成场的一个等相位面，无论对基模或高阶 横模，情况都是一样。 v (x, y) mn v (r,) mn v (x, y) mn v (r,) mn