复旦大学：《谱学导论》课程教学资源（电子教案）第一章 分子光谱基础 1.1 多原子分子的结构和对称性

第一章分子光谱基础 很早人们就知道,物质的特殊颜色可以用于测定物质的含量,这就是比色分析法的基础。 在量子力学诞生以后,人们对于光和物质之间相互作用的认识有了本质的飞跃,光谱技术不 仅在定性定量分析上得到了很大发展,同时也演变成了人们了解物质结构信息的主要工具之 本章主要介绍分子光谱的理论基础。物质对光产生的吸收、发射或散射,其本质是光和 物质分子的相互作用,将物质吸收、发射或散射光的强度对频率作图所形成的演变关系,就 是分子光谱。根据光辐射的波长范围和作用形式的不同,分子光谱又包括紫外可见光谱,红 外光谱,吸收光谱、荧光光谱和拉曼光谱等。不同的光谱可提供物质分子内部不同运动的信 息,由分子光谱了解物质的结构,这就是学习分子光谱的目的。 511多原子分子的结构和对称性 量子力学的基本原理告诉我们,只要知道了分子体系的波函数,就可以得到关于分子体 系的任何信息。尽管写出一个分子的薛定鄂( Schrodinger)方程并不困难,但是能够精确求 解的微观体系却为数很少,绝大部分分子体系薛定鄂方程的求解都依赖于近似方法。因此, 利用分子的某些特殊性质对繁复的量子化学计算过程进行简化,就非常有必要了。其中,分 子的对称性是可供利用的最重要的性质之一。下面简单介绍一些分子对称性及其数学表示的 最基本知识,有关详细内容可参阅相关的参考书。 111对称元素和对称操作 显然,诸如苯、甲烷、氨这样的分子都有对称性,但是怎样定量地描述分子的这种对称 性高低呢?首先需要给出一个对分子对称性进行分类和描述的方法。以氨分子为例,它是正 角锥形状,N原子在正三角锥的顶点上,三个H原子位于三角锥基底正三角形的三个顶点 上。设想,三个H原子构成的正三角形中心和N原子之间连成一条线,则当整个分子围绕这 根线旋转120度后,我们不能分辨这个分子和它在旋转前有什么不同。这种在不改变分子中 任何两个原子之间距离的前提下使分子复原的操作称为对称操作。对称操作赖以进行的几何 元素称为对称元素。 分子可看成是一个有限图形,所以它的对称元素有旋转轴Cn、反映面σ、对称中心i以 及象转(旋转反映)轴S四种。与之相对应的对称操作是旋转Ck、反映σ、反演i以及象 转S。此外为了数学上自洽的需要,还要加上一个恒等操作E。这些操作的具体内容是: 1)恒等操作E:维持分子中任何一点都保留在原来位置上不动的操作; 2)旋转操作C:使分子旋转2/n角度后复原的操作。其中n和k都是整数,n称为 轴次,n≥3的旋转轴被称为高次旋转轴。当分子中含有多于一根旋转轴时,轴次最 高的旋转轴为分子的主轴,其它是副轴

第一章 分子光谱基础 很早人们就知道，物质的特殊颜色可以用于测定物质的含量，这就是比色分析法的基础。 在量子力学诞生以后，人们对于光和物质之间相互作用的认识有了本质的飞跃，光谱技术不 仅在定性定量分析上得到了很大发展，同时也演变成了人们了解物质结构信息的主要工具之 一。本章主要介绍分子光谱的理论基础。物质对光产生的吸收、发射或散射，其本质是光和 物质分子的相互作用，将物质吸收、发射或散射光的强度对频率作图所形成的演变关系，就 是分子光谱。根据光辐射的波长范围和作用形式的不同，分子光谱又包括紫外可见光谱，红 外光谱，吸收光谱、荧光光谱和拉曼光谱等。不同的光谱可提供物质分子内部不同运动的信 息，由分子光谱了解物质的结构，这就是学习分子光谱的目的。 §1.1 多原子分子的结构和对称性 量子力学的基本原理告诉我们，只要知道了分子体系的波函数，就可以得到关于分子体 系的任何信息。尽管写出一个分子的薛定鄂（Schrödinger）方程并不困难，但是能够精确求 解的微观体系却为数很少，绝大部分分子体系薛定鄂方程的求解都依赖于近似方法。因此， 利用分子的某些特殊性质对繁复的量子化学计算过程进行简化，就非常有必要了。其中，分 子的对称性是可供利用的最重要的性质之一。下面简单介绍一些分子对称性及其数学表示的 最基本知识，有关详细内容可参阅相关的参考书。 1.1.1 对称元素和对称操作 显然，诸如苯、甲烷、氨这样的分子都有对称性，但是怎样定量地描述分子的这种对称 性高低呢？首先需要给出一个对分子对称性进行分类和描述的方法。以氨分子为例，它是正 三角锥形状，N 原子在正三角锥的顶点上，三个 H 原子位于三角锥基底正三角形的三个顶点 上。设想，三个 H 原子构成的正三角形中心和 N 原子之间连成一条线，则当整个分子围绕这 根线旋转 120 度后，我们不能分辨这个分子和它在旋转前有什么不同。这种在不改变分子中 任何两个原子之间距离的前提下使分子复原的操作称为对称操作。对称操作赖以进行的几何 元素称为对称元素。 分子可看成是一个有限图形，所以它的对称元素有旋转轴 Cn 、反映面  、对称中心 i 以 及象转（旋转反映）轴 n S 四种。与之相对应的对称操作是旋转 k Cn 、反映  、反演 i 以及象 转 k n S 。此外为了数学上自洽的需要，还要加上一个恒等操作 E 。这些操作的具体内容是： 1) 恒等操作 E ：维持分子中任何一点都保留在原来位置上不动的操作； 2) 旋转操作 k Cn ：使分子旋转 2k / n 角度后复原的操作。其中 n 和 k 都是整数， n 称为 轴次， n  3 的旋转轴被称为高次旋转轴。当分子中含有多于一根旋转轴时，轴次最 高的旋转轴为分子的主轴，其它是副轴

3)反映操作σ:将分子对某一平面进行反映后进入其等价构型,称该平面为分子的镜 面,上述操作叫反映。与主轴垂直的镜面以G表示,包含主轴的镜面以σ,表示,平 分两个相邻副轴的镜面以O表示。 4)反演操作i:将对称中心设在坐标原点,把分子中原来位于(x,y,=)的原子移到 (-x-y-)而使分子复原的操作称为反演 5)象转操作S:将分子先旋转2m/n,然后再对垂直于旋转轴的镜面进行反映,使分 子进入等价构型的操作。 112群和分子点群 对一组元素{,BC,…}的集合,定义一种运算法则。集合中任何两个元素A和B,按 照这种法则运算,所得到的结果D(D=AB),满足封闭性、恒等元素、逆元素和结合律 称上述集合构成群( group)。这里所说的封闭性,指的是D一定是集合{A,B,C,…}中的 个元素。恒等元素指集合{A,B,C,…)中一定存在一个元素E,它和其他任何元素A的运算 结果始终满足AE=EA=A。对集合{A,B,C,…}中的任何一个元素A,总存在另一个与 之对应的元素A-1(A∈{A,B,C…}),使得AA1=E,A就是A的逆元素。集合中 任何三个元素之间的运算满足结合律,即A(BC)=(ABC。 若定义两个对称操作之间的运算是两个操作的连续作用,容易验证,由分子全部对称操 作所组成的集合构成了数学上的群。由于分子是一个有限图形,其所有对称元素都通过分子 的质心,所以分子对称操作所构成的群被称为分子点群。按照分子中所包含对称元素的多少, 可以将分子划归到一定的点群中。分子点群是对分子对称性高低的定量描述 常见的分子点群有以下几类: 1)Cn群:它只包含一根Cn旋转轴 2)Cm群:在Cn群的基础上再增加一个垂直于Cn轴的σ反映面 3)C灬群:在Cn群的基础上,增加1个通过C轴的反映面;根据对称操作的组合规 则,一定存在n个通过Cn轴的反映面 )Sn群:只包含一根S轴的点群 5)D群:在Cn群中加入1根垂直于Cn轴的C2轴(C轴是轴次最高旋转轴,被称 为主轴),根据对称操作的组合规则,一定存在n根垂直于Cn轴的C2轴 6)Dm群:在Dn群的基础上再加一个垂直于主轴的a反映面; 7)Dn群:在Dn群的基础上再加上n个σ面,形成Dn群 8)T群:具有正四面体构型的分子属于T点群

3) 反映操作  ：将分子对某一平面进行反映后进入其等价构型，称该平面为分子的镜 面，上述操作叫反映。与主轴垂直的镜面以  h 表示，包含主轴的镜面以  v 表示，平 分两个相邻副轴的镜面以  d 表示。 4) 反演操作 i ：将对称中心设在坐标原点，把分子中原来位于 (x, y,z) 的原子移到 (− x,−y.− z) 而使分子复原的操作称为反演。 5) 象转操作 k n S ：将分子先旋转 2k / n ，然后再对垂直于旋转轴的镜面进行反映，使分 子进入等价构型的操作。 1.1.2 群和分子点群 对一组元素 A,B,C,  的集合，定义一种运算法则。集合中任何两个元素 A 和 B ，按 照这种法则运算，所得到的结果 D （ D = AB ），满足封闭性、恒等元素、逆元素和结合律， 称上述集合构成群（group）。这里所说的封闭性，指的是 D 一定是集合 A,B,C,  中的一 个元素。恒等元素指集合 A,B,C,  中一定存在一个元素 E ，它和其他任何元素 A 的运算 结果始终满足 AE = EA = A 。对集合 A,B,C,  中的任何一个元素 A ，总存在另一个与 之对应的元素 −1 A （  , , ,  1 A  A B C − ），使得 AA = E −1 ， −1 A 就是 A 的逆元素。集合中 任何三个元素之间的运算满足结合律，即 A(BC) = (AB)C 。 若定义两个对称操作之间的运算是两个操作的连续作用，容易验证，由分子全部对称操 作所组成的集合构成了数学上的群。由于分子是一个有限图形，其所有对称元素都通过分子 的质心，所以分子对称操作所构成的群被称为分子点群。按照分子中所包含对称元素的多少， 可以将分子划归到一定的点群中。分子点群是对分子对称性高低的定量描述。 常见的分子点群有以下几类： 1) Cn 群：它只包含一根 Cn 旋转轴； 2) Cnh 群：在 Cn 群的基础上再增加一个垂直于 Cn 轴的  反映面； 3) Cnv 群：在 Cn 群的基础上，增加 1 个通过 Cn 轴的反映面；根据对称操作的组合规 则，一定存在 n 个通过 Cn 轴的反映面； 4) n S 群：只包含一根 n S 轴的点群； 5) Dn 群：在 Cn 群中加入 1 根垂直于 Cn 轴的 C2 轴（ Cn 轴是轴次最高旋转轴，被称 为主轴），根据对称操作的组合规则，一定存在 n 根垂直于 Cn 轴的 C2 轴； 6) Dnh 群：在 Dn 群的基础上再加一个垂直于主轴的  反映面； 7) Dnd 群：在 Dn 群的基础上再加上 n 个  d 面，形成 Dnd 群； 8) Td 群：具有正四面体构型的分子属于 Td 点群

9)O群:正八面体和立方体构型的分子属于O点群。 以铵离子NH3为例,从孤电子对到N是一根C3轴,H-N孤电 子对、N-H3-孤电子对和NH-孤电子对分别构成了三个面,所以 它是C点群。 11.3群表示及其性质 在数学上,图形可以用代数方法表示,所以代数方程是图形的数学表示。图形经过对 称操作后,其数学表示就演变成另外一个代数方程。而两个代数方程之间可以通过矩阵运算 得以转换。所以对称操作可以用代数方法的矩阵R来表示。 设X是另外一个矩阵,则矩阵运算 X-RX=R (1.1.1) 叫相似变换。对一个分子,如果其所有对称操作的表示矩阵经过相似变换后都具有下列准对 角形式 a1!a1 a2a20 (1.1.2) 00 称该表示是可约的,其中再不能约化的二个更小的矩阵表示(1个二维和1个一维)称为不 可约表示。将可约表示分解为不可约表示的过程叫约化 但是对称操作矩阵表示的具体形式和对称操作的具体对象有关。为了避免由此带来的复 杂性(而且事实上也没有必要去求解具体的矩阵),我们只需 要知道表示的特征标。特征标是对称操作表示矩阵的对角元之 和。它的物理含义是,在所指定的对称操作下,操作对象保持H 不变的成分。以水分子为例,0原子到两个H连线的中点是C2 轴,H1-0-H2构成了一个σ,面,通过0原子到两个H连线的中点并垂直于纸平面的是另外 个σ、面。所以H0是C2点群。以两个H-0键为操作对象(被称为基),经过C2操作后, H1-0和H2-0对换,即它们在各自原来的位置上都没有留下任何痕迹,所以特征标为零。同 样对于垂直于纸面的σ反映操作,H-0和臣-0也是对换位置,所以特征标也是零。而对于 纸平面内的G、反映,H-0和H20都保留在各自原来的位置上,所以特征标是2。综上所述, HO分子以两个H0键为基,在C2点群各对称操作作用下的特征标是 C E Ca 这是一个可约表示。利用特征标表,利用公式我们可以对该可约表示r进行约化: ∑x(Rz(R) 其中a是『中包含第a个不可约表示的数目,g是群的阶数(群元素的个数),R是对称操 作xa(R)是第a个不可约表示的特征标。群论的有关书籍上提供了常见点群的特征标表

9) Oh 群：正八面体和立方体构型的分子属于 Oh 点群。 以铵离子 NH3 为例，从孤电子对到 N 是一根 C3 轴，H1-N-孤电 子对、N-H3-孤电子对和 N-H2-孤电子对分别构成了三个  v 面，所以 它是 C3v 点群。 1.1.3 群表示及其性质 在数学上，图形可以用代数方法表示，所以代数方程是图形的数学表示。图形经过对 称操作后，其数学表示就演变成另外一个代数方程。而两个代数方程之间可以通过矩阵运算 得以转换。所以对称操作可以用代数方法的矩阵 R 来表示。 设 X 是另外一个矩阵，则矩阵运算 ' 1 X RX = R − (1.1.1) 叫相似变换。对一个分子，如果其所有对称操作的表示矩阵经过相似变换后都具有下列准对 角形式           33 21 22 11 12 0 0 0 0 a a a a a (1.1.2) 称该表示是可约的，其中再不能约化的二个更小的矩阵表示（1 个二维和 1 个一维）称为不 可约表示。将可约表示分解为不可约表示的过程叫约化。 但是对称操作矩阵表示的具体形式和对称操作的具体对象有关。为了避免由此带来的复 杂性（而且事实上也没有必要去求解具体的矩阵），我们只需 要知道表示的特征标。特征标是对称操作表示矩阵的对角元之 和。它的物理含义是，在所指定的对称操作下，操作对象保持 不变的成分。以水分子为例，O 原子到两个 H 连线的中点是 C2 轴， H1-O-H2 构成了一个  v 面，通过 O 原子到两个 H 连线的中点并垂直于纸平面的是另外 一个  v 面。所以 H2O 是 C2v 点群。以两个 H-O 键为操作对象（被称为基），经过 C2 操作后， H1-O 和 H2-O 对换，即它们在各自原来的位置上都没有留下任何痕迹，所以特征标为零。同 样对于垂直于纸面的  v 反映操作，H1-O 和 H2-O 也是对换位置，所以特征标也是零。而对于 纸平面内的 v ' 反映，H1-O 和 H2-O 都保留在各自原来的位置上，所以特征标是 2。综上所述， H2O 分子以两个 H-O 键为基，在 C2v 点群各对称操作作用下的特征标是 C2v E C2  v v '   2 0 0 2 这是一个可约表示。利用特征标表，利用公式我们可以对该可约表示  进行约化： R (R) g a a R =   ( ) 1 * 其中 a 是  中包含第 a 个不可约表示的数目， g 是群的阶数（群元素的个数）， R 是对称操 作 (R)  a 是第 a 个不可约表示的特征标。群论的有关书籍上提供了常见点群的特征标表， N H3 H1 H2 O H1 H2

从中可以查阅到,C2点群的特征标表是 A B B 这样,中包含不可约A1的个数是 ×1+0×1+0×1+2×11=1 同样,包含A2、B1和B2的个数分别是0、0和1。于是我们知道可约表示厂是由一个A1和 一个B2组成的,写成 =A1B2, (1.1.3) 符号⊕叫直和。 在分子光谱中,经常需要计算诸如vd形式的跃迁矩阵元的大小。由于这是一 个多中心积分,计算通常是非常困难的。但是,在许多情况下,跃迁矩阵元的数值是零。依 靠群论,我们往往不必通过计算就直接能对这一点作出判断。具体方法是:设跃迁前后分子 的波函数分别是v和vb,它们分别属于分子点群的不可约表示。和b,而偶极矩x属 于I不可约表示。则跃迁矩阵元∫v所属的表示可以写成 I③rb⑧T (1.1.4) ⑧称为直积。直积的特征标等于单个表示特征标的乘积。直积一般是分子点群的可约表示 可以按照前面所讲的方法进行约化。经过约化后,如果直积中包含了全对称不可约表示,积 分 yaxysdr才可能有非零值。例如,对C点群,特征标表是 E 2C 3 A L E 2 0 (x,y) 若有两个状态v∈E和vb∈A2,且从上表中知x∈E,则 2C3 E⑧A2⑧E 对直积进行分解,得到E⑧A2②E=E⊕AA2,其中包含了全对称不可约表示A1,所 以积分「 yxyndx可能有非零值

从中可以查阅到，C2v 点群的特征标表是： C2v E C2  v v ' A1 1 1 1 1 A2 1 1 -1 -1 B1 1 -1 1 -1 B2 1 -1 -1 1 这样，  中包含不可约 A1 的个数是 2 1 0 1 0 1 2 1 1 4 1  +  +  +  = 同样，包含 A2、B1 和 B2 的个数分别是 0、0 和 1。于是我们知道可约表示  是由一个 A1 和 一个 B2 组成的，写成  = A1  B2 ， (1.1.3) 符号  叫直和。 在分子光谱中，经常需要计算诸如  dx  a x b * 形式的跃迁矩阵元的大小。由于这是一 个多中心积分，计算通常是非常困难的。但是，在许多情况下，跃迁矩阵元的数值是零。依 靠群论，我们往往不必通过计算就直接能对这一点作出判断。具体方法是：设跃迁前后分子 的波函数分别是  a 和  b ，它们分别属于分子点群的不可约表示 a 和 b ，而偶极矩  x 属 于  不可约表示。则跃迁矩阵元  dx  a x b * 所属的表示可以写成： a  b   (1.1.4)  称为直积。直积的特征标等于单个表示特征标的乘积。直积一般是分子点群的可约表示， 可以按照前面所讲的方法进行约化。经过约化后，如果直积中包含了全对称不可约表示，积 分   x d a b * 才可能有非零值。例如，对 C3v 点群，特征标表是 C3v E 2C3 3  v A1 1 1 1 z A2 1 1 -1 E 2 -1 0 (x,y) 若有两个状态  a  E 和  b  A2 ，且从上表中知 xE ，则 C3v E 2C3 3  v E  A2 E 4 1 0 对直积进行分解，得到 E  A2 E = E  A1  A2 ，其中包含了全对称不可约表示 A1 ，所 以积分  x dx  a  b * 可能有非零值