辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）附录Ⅰ截面的几何性质

附录I截面的几何性质 §I-1截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。 1.静矩(或一次矩) s,=xda S-=ydA A (常用单位:m3或mm3。值:可为正、负或0。) 2形心坐标公式(可由均质等厚薄板的重心坐标而得) xd d d a

附录 截面的几何性质 § -1 截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。 S x A S y A A x A y d d   = = 1. 静矩（或一次矩） (常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。） 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得） A y A y A x A x A A = = d d O x dA y y x C x y

d 4 A 4 3.静矩与形心坐标的关系 Sy=Ax S=Ay 结论:截面对形心轴的静矩恒为0,反之,亦然。 4.组合截面的静矩 由静矩的定义知:整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和: S,=∑Ax1Sx=∑Ay i=1 (A和x,y分别为第个简单图形的面积及其形心坐标)

A y A y A x A x A A = = d d 3. 静矩与形心坐标的关系 Sy = A x Sx = A y 结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。 4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和: =  =  = = n i x i i n i y i i S A x S A y 1 1 (Ai和xi , yi 分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）

5.组合截面的形心坐标公式 将S=∑4 x=∑A i=1 I= 代入Sy=AxSx=Ay 解得组合截面的形心坐标公式为: ∑A1x ∑Ay x三 y= ∑A ∑A =1 (注:被“减去”部分图形的面积应代入负值)

5. 组合截面的形心坐标公式 Sy = A x Sx = A y =  =  = = n i x i i n i y i i S A x S A y 1 1 将 代入 解得组合截面的形心坐标公式为：   =   = = = = = n i i n i i i n i i n i i i A A y y A A x x 1 1 1 1 （注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）

例I-1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。 b(y) O 解:取平行于地轴的狭长条,易求b(y)=(h-y) 因此dA=(h-y)dy所以对轴的静矩为 h S:=ydA=ch b bh (h-y)yd y o h 6

例 I-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。 解： 取平行于x轴的狭长条， ( ) (h y) h b 易求 b y = − h y y h b 因此 d A = ( − )d 所以对x轴的静矩为 6 d ( ) d 2 0 bh h y y y h b S y A h A x = = − =   O x y b ( y ) y d y h b

例I-2试计算图示截面形心C的位置 y 解:将截面分为1、2两个矩形。 10 建立坐标系如图示。 各矩形的面积和形心坐标如下: 矩形I A=10×120=1200mm2 10 x1===5mm 120 oumm 2 2 80 矩形A2=10×70=700m2 70 x2=10+ 2 45mm y2 =5m 2

例I-2 试计算图示截面形心C的位置。 解：将截面分为1、2两个矩形。 建立坐标系如图示。 各矩形的面积和形心坐标如下： 60mm 2 120 5mm 2 10 10 120 1200mm 1 1 2 1 = = = = =  = x y A 5mm 2 10 45mm 2 70 10 10 70 700mm 2 2 2 2 = + = = = =  = x y A O x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ 矩形I 矩形II

代入组合截面的形心坐标公式 ∑Ax ∑Ay y= ∑A 解得 x≈20mmy≈40mm

代入组合截面的形心坐标公式   =   = = = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i i i A A y y A A x x 解得： x  20mm y  40mm

§I-2极惯性矩·惯性矩·惯性积 设任意形状截面如图所示。 1极惯性矩(或截面二次极矩) Ip=Lp da 2惯性矩(或截面二次轴矩) 1=x2d41x=」ydA (为正值,单位m4或mm4) 由于p2=y2+x 所以1=Jpd4=(y2+x)dA=1+1 (即截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。)

§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积 设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩（或截面二次极矩） I A A d 2 p  =  2.惯性矩（或截面二次轴矩） I x A I y A A x A y d d 2 2   = = （为正值，单位m4 或 mm4) 2 2 2 由于  = y + x 所以 I A y x A I x I y A A =  = + = +   d ( ) d 2 2 2 p （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） O x y y x dA

3.惯性积 dA avdA (其值可为正、负或0, 单位:m4或mm 结论: x 截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。 4.惯性半径 y A A (单位m或mm)

3. 惯性积 I xy A A xy d  = （其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4 ) 截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。 结论： 4. 惯性半径 A I i A I i x x y y = = （单位m 或 mm） O x y y x dA

例I-3试计算图a示矩形截面对于其对称轴(即形心 轴)x和y的惯性矩。 解:取平行于x轴的狭长条, 则 dA=b h bh Ix=ydA=h, d y 2 12 同理2b 12 b (a

例I-3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心 轴）x和y的惯性矩。 解：取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy 12 d d 3 2 2 2 2 bh I y A by y h h A x = = =  − 同理 12 3 hb I y = y h C x d y y b (a)

y 若截面是高度为h的平行 四边形(图b),则其对形心 轴x的惯性矩同样为 x bh 12 (b)

若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为 12 3 bh I x = h x y b (b) C