兰州交通大学：《大学物理实验》课程教学资源（PPT课件讲稿）非线性电路混沌实验

物理实验中心 非线性电路混沌实验

非线性电路混沌实验

一、引言 二、混沌的发现 三、混沌运动的主要特征 四、倍周期分叉、阵发混沌和奇怪吸引子 五、实验原理、仪器介绍、内容和现象 六、 混沌和现代科学

二、混沌的发现 四、倍周期分叉、阵发混沌和奇怪吸引子 三、混沌运动的主要特征 五、实验原理、仪器介绍、内容和现象 六、混沌和现代科学 一、引言

引言 冬非线性特性才是自然界的基本特 性和本质存在 混沌学揭示的随机性存在于确定 性之中的这一科学事实，最有力的 说明客观实体可以兼有确定性和随 机性

引 言 ❖非线性特性才是自然界的基本特 性和本质存在 ❖混沌学揭示的随机性存在于确定 性之中的这一科学事实，最有力的 说明客观实体可以兼有确定性和随 机性

混沌现象的发现 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家， 物理学家一庞加莱，他是在研究天体力学，特别 是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引 力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力 学方程的某些解有不可预见性。他在《科学的价 值》一书中写道：“初始条件的微小差别在最后 的现象中产生了极大的差别：前者的微小误差促 成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。 这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内 在的随机性”这一混沌现象的重要特征

混沌现象的发现 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家， 物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别 是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引 力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力 学方程的某些解有不可预见性。他在《科学的价 值》一书中写道：“初始条件的微小差别在最后 的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促 成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。 这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内 在的随机性”这一混沌现象的重要特征

混沌运动的主要特征 初值敏感性 >长期行为的不可预见性 (例：洛仑兹的天气模型) 下一页

混沌运动的主要特征 ➢ 初值敏感性 ➢ 长期行为的不可预见性 （例：洛仑兹的天气模型） 下一页

看两条轨道是如何分道扬镳的 (初值分别为0.506,0.506127)

看两条轨道是如何分道扬镳的 （初值分别为0.506，0.506127）

倍周期分岔 解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维 非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。 x+1=Ax,(1-x) 式中的是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也 反映了系统非线性的强弱。当1<λ≤3时，不管初值是多少， 经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值x。→1-1/入 这个值就叫做周期一或不动点，我们可以把这一结果想象成每 年的虫口都一样。 下一页

倍周期分岔 解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维 非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程。 (1 ) n 1 n n x = x − x +  式中的  是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也 反映了系统非线性的强弱。当 时，不管初值是多少， 经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值 1   3 x  →1−1/ 这个值就叫做周期一或不动点，我们可以把这一结果想象成每 年的虫口都一样。 下一页

继续增大参数入，当)>3，周期一点不再稳 定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会 回到周期一点1-1久，而出现了周期二。 例如： 当=33时，0.7是周期一点。现用0.669去 迭代，就会出现周期二。迭代情况如下： 无法品示该图 0.669--0.738--0.644-0.764-0.601--0.799- 0.545-0.829--0.472--0.830--0.469-0.830- 0.470--0.830-0.470. 一页

继续增大参数，当>3，周期一点不再稳 定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会 回到周期一点 1-1/，而出现了周期二。 例如： 当= 时，0.7是周期一点。现用0.669去 迭代，就会出现周期二。迭代情况如下： 0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799--- 0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830--- 0.470---0.830---0.470…… 3 下一页 3 1 3

现在，让参数入再增大，当=3.449时，周期二解 也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当 参数继续增大，使得λ=3.544时，周期四解又变的不稳 定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去， 还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的 倍周期分岔现象。 值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一 直这样分下去，但对应的入值却有一个极限入。，到达 入。时，迭代的稳定解是2∞周期解--周期无穷大，也就 是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数 据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。 倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜 在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题， 有可能找到正确的答案。 下一页

现在，让参数再增大，当=3.449时，周期二解 也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当 参数继续增大，使得=3.544时，周期四解又变的不稳 定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去， 还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的 倍周期分岔现象。 值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一 直这样分下去，但对应的值却有一个极限, ，到达 , 时，迭代的稳定解是2 周期解---周期无穷大，也就 是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数 据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。 倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜 在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题， 有可能找到正确的答案。 下一页

SP 3P 6P 2P 2.92401 3.92 倍周期分岔图

倍周期分岔图