华东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（讲义）常用的离散型随机变量

常用的 0-1分布 离散型随机变量 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布

常用的 离 随机 0-1分布 离散型随机变量 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布

常用的 连续型随杋变量

常用的 连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,)( Uniform distribution) a.定义 X的概率密度密度为0(x)=1baab 0,其它 称X在区间(ab)上服从均匀分布记为X~U(ab)。 数学期望: 0(x) EX s a+b 2 方差: (b-a)2 DX=12

(1) 均匀分布 U ab (,) (Uniform distribution) a. 定义 X 的概率密度密度为 ϕ( ) , x b a axb = − < < ⎧ ⎨ ⎪ 1 称 X 在区间 ( a b )上服从均匀分布 X 的概率密度密度为 ϕ( ) , ⎨ b a ⎩ ⎪ 0 其它 记为 X ~ U( a b ) ϕ( x ) 称 X 在区间 ( a,b )上服从均匀分布 ，记为 X ~ U( a,b ) 。 数学期望 : ϕ( x ) . 1 2 : a b EX + = 数学期望 b a − 2 方差： ( ) 2 b 0 x a b 12 ( ) 2 b a DX − =

b.意义 X具有下述意义的等可能性,即x落在(a,b)中任 意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话 说,它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长 度,而与子区间的位置无关。 即v(cc+D)ca,b) P(csX a Ⅹ 死之死

b.意义 X 具有下述意义的等可能性 具有下述意义的等可能性 ， 即 X 落在 ( a ,b ) 中任 意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话 说 ，它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长 度，而与子区间的位置无关。 即 ∀ ( c,c + l ) ⊂ ( a,b ), Pc X c l x dx l b c l { ≤ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1 0 x a b , x > b ⎩ 1

c应 1)读刻度器上读数时,把零头数化为最靠近 整分度时所发生的误差 2)每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽 车停靠站上,乘客候车的时间

c.应用： 1)读刻度器上读数时，把零头数化为最靠近 整分度时所发生的误差. 2) 每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽 车停靠站上，乘客候车的时间

例1秒表的最小刻度差为02秒,如果计时的精确 度是取最近的刻度值,求使用该秒表计时产 生的随机误差的概率分布,并计算误差的绝 对值不超过005秒的概率。 0.20.100.10.2 解:设随机误差X可能取得区间(-0.1,0.1)内的任一 知值并在此区间内服从均匀分布则x的密度函 数为 5,1xk01 0(x) 0,|x≥01 005 P(X≤05)=5x=05 0.05 即误差的绝对值不超过0.05秒的概率为05

例 1.秒表的最小刻度差为 0.2 秒，如果计时的精确 度是取最近的刻度值，求使用该秒表计时产 生的随机误差的概率分布，并计算误差的绝 对值不超过 0.05 秒的概率。 -0 2 -0.1 0 0 1 0 2 解：设随机误差 X 可能取得区间(-0.1，0.1)内的任一 值 并在此区间内服从均匀分布 则 X 的密度函 0.2 0.1 0 0.1 0.2 值，并在此区间内服从均匀分布，则 X 的密度函 数为 ⎧ ⎩⎨ ≥< = 0, | | 0.1 5, | | 0.1 ( ) xx ϕ x ⎩ , | | ∴ P X dx (| | . ) . . . ≤= = −∫ 0 05 5 0 5 0 05 0 05 即误差的绝对值不超过 0.05 秒的概率为 0.5

例2.设随机变量服从(0.0)上的均匀分布,现 对ξ进行观察,试求在不多于3次的观察中 至少有次观察值超过8的概率 解:对ξ进行一次观察发现其值超过8的概率 p=P(>8) dx 8105 令为观察值首次超过8次的观察次数,则7~Gep), P(≤3)=P(=1)+P(7=2)+P=3) 261 p+gp+gp 125

例 2. 设随机变量ξ 服从 (0, 10)上的均匀分布，现 对ξ 进行观察，试求在不多于 3 次的观察中 至少有一次观察值超过 8 的概率。 解：对ξ 进行一次观察发现其值超过 8 的概率 1 1 10 5 ( 8) 10 8 = > = = ∫ p P ξ dx 。 令η 为观察值首次超过 8 次的观察次数，则η ~ Ge( p)， P( ≤ 3) P( 1)+ P( 2)+ P( 3) 61 ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 2 = + + = ≤ = = + = + = p qp q p P η P η P η P η 125 = p+qp+q p =

2指数分布E(4)( Exponential distribution a定义 若随机变量X的分布密度为 1e,x>0 rs0,4>0, 则这种分布叫做指数分布称随机变量X服从参数 为4的指数分布,记为X~E()。 分布函数为 1-ea,x>0 F(x)= 0,x≤0

(2)指数分布 E (λ ) (Exponential distribution) a.定义 若随机变量 X 的分布密度为 ϕ λ λ ( ) , x e x x = ⎧ > ⎨ − 0 λ 0 ϕ( ) , x x = ≤ ⎨⎩ 0 0 ，λ > 0， 则这种分布叫做指数分布，称随机变量 X 服从参数 为λ 的指数分布，记为 X ~ E(λ)。 分布函数为 ⎨⎧ − > − 1 , 0 ( ) e x F λx ⎩⎨ ≤ = 0, 0 ( ) x F x

★密度函数和分布函数的图形 0(x F( b应用:寿命、某种服务的等待时间(如银行取款, 售票处买票等)

密度函数和分布函数的图形： ϕ(x) F(x) λ 1 0 x 0 x b.应用：寿命、某种服务的等待时间（如银行取款， 售票处买票等）

数学期望EX=,方差DX 00 因为B3xed e-x)(e/=(x e o - f-j)e dx =0-,e-k 0-1) 而F= x2·e dx rh(x d(e)=(x e )o -(2ce*ce +0 0+2|x·e Zx d x rale 0 +0 x·e 如m-c2) e 2 =E2-(E)2=2-(1221 D 2202

数学期望 λ 1 EX = ， 2 1 λ 方差DX = 因为 EX = ⋅ + ∞ − ∫ 0 x e dx x λ λ ( ) ( ) x x d e − λ +∞ = − ∫ x e e dx x x ∫+∞ − − +∞ = ( ) ( 1 ) λ λ ( ) ( ) 0 = − x d e ∫ x e e dx ∫ = − ⋅ − − 0 0 ( ) ( 1 ) + ∞ − = − ⋅ 0 1 0 x e λ λ λ λ 1 ( 0 1 ) 1 = − ⋅ − = 而 2 EX x e dx λ x λ − +∞ = ⋅ ∫ 2 0 λ 0 λ λ ∫ 0 ( ) ( ) 2 0 x x d e − λ +∞ = − ∫ x e x e dx x x ∫+∞ − − +∞ = − ⋅ − − 0 0 2 ( ) ( 2 ) λ λ 2 x e dx − λx + ∞ = + ⋅ ∫0 0 2 ( ) 2 0 x xd e λ λ − + ∞ ∫ = − 2 + ∞ +∞ ∫ 2 + 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 0 0 x e e dx λx λx λ − + ∞ +∞ − ∫ = − ⋅ − 2 0 2 2 2 λ λ λ = − ⋅ = + ∞ − x e 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 2 ( ) λ λ λ DX = EX − EX = − =