《高等数学常用公式》PPT教学课件

常数和基本初等函数的导数 (C)=0 sinx)=cos x (tan x)= secx ((( ux COSX SInx cot x CSc x (secx)= sec x tanx (CSC x)=-cSc x cot x a =a Ina e e (loga x)'= nx rIna X (arcsin x) arccos X (arctan x) (arc cot x) 1+x 1+x

1. 常数和基本初等函数的导数 (C) = 0 ( ) =  x −1  x (sin x) = cos x (cos x) = −sin x (tan x) = x 2 sec (cot x) = x 2 − csc (sec x) = sec x tan x (csc x) = − csc x cot x ( ) = x a a a x ln ( ) = x e x e (loga x) = x ln a 1 (ln x) = x 1 (arcsin x) = 2 1 1 − x (arccos x) = 2 1 1 − x − (arctan x) = 2 1 1 + x (arccot x) = 2 1 1 + x − 1

2.有限次四则运算的求导法则 (±y)=l'±y(Cuy=Cl′(c为常数) uv-uv uv=u'v+uv (v≠0) 3.复合函数求导法则 y=f() ,=0(x) dy d dx du dx f(u)·q(x)

(u  v) = u v  (Cu) = Cu  (uv) = u  v + uv  ( ) =  v u 2 v u  v − uv  ( C为常数 ) (v  0) 3. 复合函数求导法则 y = f (u) , u =(x) = x y d d = f (u)(x) u y d d x u d d  2. 有限次四则运算的求导法则 2

高界 阶导数的运算法则 设函数=l(x)及v=v(x)都有刀阶导数,则 1.(±))=n0)±y() 2.(C)(m)=Cn(m)(C为常数 3.((m)=n(m n(n- 1) v+nu ,(n-1) 2! n(n-1)…(n-k+1),(mk),(k) ∴ +∴+l 菜布尼兹( Leibniz)公式

高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 3

微分运算法则 设u(x),Vx)均可微,则 d(l±y)=dd2.d(C)=Ct(C为常数) 3d()=1vt+wdh4.d")=-2①y(v≠0) 5.复合函数的微分 y=f(u),l=0(x)分别可微, 则复合函数y=f(x)]的微分为 dy=yx dx=f(u)o'(x)dx dy=f(u)d微分形式不变

微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv 5

从不定积分定义可知 (1)[f(x)dx]=f(x)k d[ f(x)dx]=f(x)dx ax (2)JF(x)Xx=F(x)+c s d F(x)=F(x)+C 基本积分表 利用逆向思维 ()Jdx=kx+C(为溶数 xdx +C(A≠-1) d x x<0时 )=1n|+C (3 X (In x'=[In(x)

 d x d (1)  f (x)d x  = f (x) 基本积分表 从不定积分定义可知: d   f (x)dx  = f (x)dx 或 x = +C  (2) F(x) d F(x) 或 = +C  d F(x) F(x) 利用逆向思维 =  (1) kdx ( k 为常数) kx +C =  (2) x dx  x +C + + 1 1 1   =  x d x (3) ln x +C x  0时 (  −1) (ln x ) = [ln(−x)] x 1 = 6

dx 1+e=arctan x+c -arc cot x+C dx (5 arcsin x+C或 arc cos孤tC (6)cos xdx= sinx+c sinxdx cosx +c (8) =sec2 xdx=tan x+ CoS X dx 2 csc xdx=-cotx+乙 SIn x

= +  2 1 d (4) x x arctan x +C =  (6) cos xdx sin x +C =  x x 2 cos d (8) =  sec xdx 2 tan x +C 或 − arccot x +C = −  2 1 d (5) x x arcsin x +C 或 − arccos x +C =  (7) sin xdx − cos x +C =  x x 2 sin d (9) =  csc xdx 2 − cot x +C 7

0)sec xtan xdx=secx+C s(11)csc x cot xdx=-cSc x+C o(12)edx=e+C e -e Shx= (13)adx +c na e+e (14)sh xdx= chx+C chx (15)ch xdx= shx+C 8

=  (10) sec x tan xdx sec x +C =  (11) csc x cot xdx − csc x +C =  e x x (12) d e C x + =  a x x (13) d C a a x + ln 2 sh x x e e x − − = ch x +C =  (15) ch xdx sh x +C =  (14) sh xdx 2 ch x x e e x − + = 8

常用基本积分公式的补充 16)tan xdx=-ln cos x +C (7)cot xdx=In sinx( +C (18) sec xdx=In sec x+ tanx(+C (9)csc xdx=In) csc x-cot[+C

常用基本积分公式的补充 9

(20) dx=arctan -+C x-a (21) dx n +c 2 xta (22) dx=arcsin - +C 2 (23) dx=(x+vx+a)+ 2 x+a (24) dx=In x+x2-a+ C 10

10