西安交通大学：智能控制概论-智能控制理论与方法_模糊逻辑与推理

模糊逻辑与模糊推理 1)精确逻辑(传统逻辑)的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中,命题的“真″和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题,组合成另一个命题的过 程 组合的基本操作 1)合取 Conjunction,P∧q,“交 2)析取 Disjunction Pv q,“并 3)隐含 Implication P →>q“ f then 4)逆操作 Inversion 5)等效关系 Equivalence p>q,"p即

模糊逻辑与模糊推理 1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, ,“交” 2）析取 Disjunction , “并” 3）隐含 Implication , “if then” 4) 逆操作 Inversion 5) 等效关系 Equivalence ，“p即 q”。 p  q p  q p → q ~ p p  q

一个隐含是“真”,必须满足三个条件之一: )前提是真,结论是真;在教书,是教师 2)前提是假,结论是假;不教书,不是教师 3)前提是假,结论是真。不在教书,是教师; 隐含是“假”时,则 4)前提是真,结论是假。在教书,不是教师。 逻Pqp∧qPqP→>4p>q 辑 系[777 T 角nF TF T F 真 FF 值 表/7F T FT FF F F T TT

p q p  q p  q p → q p  q ~ p T F T T T T T T T T T T T T T T F F F F F F F F F F F F 一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师； 2） 前提是假，结论是假； 不教书，不是教师； 3） 前提是假，结论是真。 不在教书，是教师； 隐含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。 逻 辑 关 系 用 真 值 表 示

传统命题逻辑的基本公理: 1。每一命题是真或假,但不能既真又假 2。由确定的术语所组成的表达式,都是命题 3。合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复(隐含) (P→q)4>[p∧(q (P→q)分(~p)Vq(p)√q 从真值表可以获得证明 Pqp>q~qp(q)1(下p(p)v TT T F F T F T T F T T F FF FIT T F F T T T FF T T F T T T

p q p → q ~ q p  (~ q) ~ [ p(~ q)] ~ p (~ p)  q T F T T T T T T T T T T T T T T T T F T F F F F F F F F F F F F 传统命题逻辑的基本公理： 1。 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3。 合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复（隐含） p q p q p q p q p q →     →   ( ) (~ ) (~ ) ( ) ~ [ (~ )] 从真值表可以获得证明：

隐含隶属函数表达式 nxy(x,y)=1-p(x,y)=1-mn(x)(-()或 Ap-q(,y)=pug(x, y)=maxlup(x), uq(y)] =max(1-2(x),2(y) 4nx(xy)=1-n(x)(1-(y)(P→>q)分[p入(q)(乘积) Anx2(x,y)=min[(,(1-2(x)+2()(p)Vq(有界和 (x)(y142(x) 1-/0(y)max(1-2(x),42(y)1-mtx1-4( 11 00 0 0 0 01 0 00

1- 1- 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 (x)  p ( y)  q ( y)  q (x)  p max[1 (x), ( y)] −  p q 1 min[ (x),1 ( y)] −  p − q 隐含隶属函数表达式 (x, y) 1 (x, y) 1 min[ (x),(1 ( y))]  p→q = −  pq = −  p − q max[(1 ( )), ( )] ( , ) ( , ) max[ ( ), ( )] x y x y x y x y p q p q p q p q       = − → =  = 或 (x, y) 1 (x) (1 ( y) ) ( p q) ~ [ p ( ~ q) ]（乘积）  p→q = − p −q →    p→q (x, y) = min[(1,(1− p (x) + q ( y))] ( ~ p)q（有界和）

传统命题逻辑的推理 D假言推理( Modus ponens) 前提1(事实)x是A 前提2(规则)jx是A, then y是B 结论 y是B[(p∧(p→q)→>q 2)否定前提的假言推理( Modus Tollens 前提1(事实)y不是B 前提2(规则)x是A, then y是B 结论 x不是A[(q∧(Pp→>q)→p

传统命题逻辑的推理 [( ( )) ] 2 , 1 1 (Modus Ponens) y B p p q q if x A then y B x A 结论 是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 是 ）假言推理 [( ( )) ] 2 , 1 2) (Modus Tollens) x A q p q p if x A then y B y B 结论 不是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 不是 否定前提的假言推理

2)模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 H48(x,y)∈0是衡量x和y隐含关系的真实程度。表示为 AB(x,y)=1-mn[p4(x)(1-B(y) UAB(, y)=max(1-uA(x)),uB(y) 或1(x,y)=1-[4(x)(-(y) uAsB(, y)=min[(1,(1-u(x)+uB() 在连续域情况下,应用于推理会发生问题! x为A y为B If-hen规则 UAsB(x, y)

2）模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 ( , ) min[( 1,(1 ( ) ( ))] ( , ) 1 [ ( ) (1 ( ))] ( , ) max[(1 ( )), ( )] ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( ))] ( , ) [0,1] x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y A B A B A B A B A B A B A B A B A B              = − + = − • − = − = − −  → → → → → 或 是衡量 和 隐含关系的真实程度。表示为： 在连续域情况下，应用于推理会发生问题！ If-then规则  x为A  y为B (x, y)  A→B ( y) B  

B (y)=supl 1→丶B( yI 关于p(计算 D假定对x=x21(x)=1;对x≠x,x(x)=0 x∈U 2)4B(x,y)用极小mn)三角范式计算。 g2(y)=sup[A4(x)次HA→B(x2y) x∈A (x)HA→B(x,y)(对x=x’) =lHAB(x, y)=min l,uAB(x,y) UsB(x'y)=1-min[ u,(x))))))),(1-uB(D) 图示如后:

( y) sup[ * (x) (x, y)] A A B x A B →  =       关于  B  ( y) 的计算 ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( )) ] 1 ( , ) min[ 1, ( , )] ( ) ( , ) ( ) ( ) sup[ ( ) ( , )] 2) ( , ) (min) ; 1 , ( ) 1; , ( ) 0, * * * * * * x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x U x x x x x x A B A B A B A B A A B A A B x A B A B A A              =  = −  − =  =  =   =  =  =  =   = → → → → →  →  对 用极小 三角范式计算。 ）假定 对 对 ☆ ☆ ☆ 图示如后：

1-4l(y) 有限支集mn1(x)1-(y 无限支集 4(x≠x)水HA→B(x≠x,y) =0大A→B(x≠x’,y) min[0.,AB(x≠x’,y) 取上界 g-(y)=1-minO,A→B(x≠x2y)=1

1 1 1 (y)  B (x ) A   1 (y) − B min[ (x ),1 ( y)]  A −  B   ( y) B   y y 有限支集 无限支集 ( ) 1 min[ 0, ( , )] 1 0 min[ 0, ( , )] 0 ( , ) * ( ) ( , ) = −   = = =   =       → → → →  y x x y x x y x x y x x x x y B A B A B A B A A B      ☆  ☆ 取上界：

说明二点: 1)对x=x一个特定的规则(其结果是具有有限支集的特定 模糊集合),激发的结果是一个具有无限攴集的模糊集合。 2)对x≠x所有各点,规则将以最大可能的输出隶属函数值1 来激发规则。 从工程观点看,以上二点,违反了工程中的因果关系,即 有因才有果。无因不能有果。 Mamdani和 Larsen分别提出极小和乘积的隐含运算 uAB(x, y)=minL u,(x), uB(I AB(x,y)=[A(x)·/B(y) 这二种计算并不是基于因果关系,是出于计算的简单性, 但保留了因果关系,与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

说明二点： 1）对 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定 模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。 x  x  x = x  Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 ( , ) ˆ [ ( ) ( )] ( , ) ˆ min[ ( ), ( )] x y x y x y x y A B A B A B A B       = • = → → 这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

用真值表表示:(精确隐含) 4(x)42(y)mnm0u(x),2()14(x)B(y 0 0 0 000 0 0 0 4B(y) 4( WB(y) B A8(x,y)mn44(x.1(y) 4→(x,y)=[pu1(x)·42(y) X三x 模糊隐含 X=x

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 min[ (x), (y)]  A  B (x) (y)  A  B (x) •  A (y)  B 用真值表表示：(精确隐含) 1 1 1 1 (x, y) ˆ min[ (x ), (y)]  A B  A  B → =  (x, y) ˆ [ (x ) (y)]  A B  A  B → =  • (x ) A   (x ) A   (y)  B ( y) B   ( y) B   x = x  模糊隐含 x = x 