《数学分析》第四章习题四

复习§2:平行截面面 4.一重积分的计算(D是矩形区域 z=f(x,y) 积为已知的立体的体积 y=J fr(x,y)dxdy zf(x,y) D是矩形区域{ab;c,团 Q(y)=」,∫(x,y)dx Ⅰ=「Q)y e(y D 问题:Q(y)是什么图形?是曲边梯形

4.二重积分的计算 (D是矩形区域) 复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积 y 0 x z y a b c d D D是矩形区域 [a,b ; c,d] z=f (x,y)  b a f (x, y)dx  = d c Q( y)dy Q( y)    = = y y z f (x, y) 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = I 是曲边梯形。  = D I f (x, y)dxdy

4.二重积分的计算(D是矩形区域) I=llf(r, y)dxdy zf(x,y) D是矩形区域{ab;c,团 Q(y)=」,∫(x,y)dx Ⅰ=g()y f∫(x,y)dx 同理,也可以先对积分Ⅰ=」dx。∫(x,y)ry

4. 二重积分的计算 (D是矩形区域) 0 x z y y a b c d D   = d c b a dy f (x, y)dx .  b a Q( y ) = f (x, y)dx  = d c I Q( y)dy 同理，也可以先对y 积分   = b a d c I dx f (x, y)dy . .  = D I f (x, y)dxdy z=f (x,y) D是矩形区域 [a,b ; c,d]

5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域) z=f(x,y) y=J =』(x,ydxd zf(x,y) D:g()≤xs(y) c≤y≤d y(y) Q(y) f(x, y)dx P(y) I=∫Q()dy x=l) e() x=yv) ▲ 间题:Q(y)是什么图形?也是曲边梯形!

0 x z y c d D z=f (x,y)  ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x x=(y) x=(y) Q( y) . y 问题：Q( y)是什么图形？ Q( y ) = D: (y)  x  (y) c  y  d    = = y y z f (x, y) 也是曲边梯形 ! 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域）  = D I f (x, y)dxdy .  d c I = Q( y)dy

5.二重积分的计算(D是曲线梯形区域) I=llf(r, y)dxdy A zf(x,y) D:g()≤xs(y) c≤y≤d y(y) Q(y) f(x, y)dx P(y) e()dy d Tdy[f(x,y)dx x=yv)

0 x z y x=(y) c y d D   = d c ψ y φ y y f x y x ( ) ) d ( , )d ( . D: (y)  x  (y) c  y  d 5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） .  = D I f (x, y)dxdy  ( ) ( ) ( , )d ψ y φ y f x y x  d c Q( y)dy Q( y ) = I = z=f (x,y) x=(y)

6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) c≤y≤d ●●● x10) D x2(y) f(, y)dx (y)

D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d I =    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x 0 y x x1 (y) x2(y) D c d y  = D I f (x, y)dxdy 6. 二重积分计算的两种积分顺序

6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) c≤y≤d x10y) D x2(y) f(, y)dx (y)

0 y x c d y D x1 (y) x2(y) I = 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d

6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) D D y(r) x b f(, ydx I f(x, y)dy x1(y) y1(x)

0 y x c d y  d c dy D D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d

6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) 0y) D D V(x): x b f(, ydx I f(x, y)dy (y) y1(x)

0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x  d c dy D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b

6.二重积分计算的两种积分顺序 I=‖f(x,y)dxdy D:x1(y)≤x≤x2(y) D:y1(x)sy≤y2(x) c≤y≤d a<xsb y2(x) y 0y) D D y(r) x b b f(, y)dx I= dx. f(x, y)dy (y) y1(x)

0 y x c d y D 0 y x I = a b y1 (x) y2(x) D x1 (y) x2(y) x  b a dx 6. 二重积分计算的两种积分顺序 .  = D I f (x, y)dxdy    ( ) ( ) ( , )d y x y x I = f x y y    ( ) ( ) ( )d x y x y f x, y x  d c dy D: x1 (y)  x  x2 (y) c  y  d D: y1 (x)  y  y2 (x) a  x  b

7.计算 y-dxdy D:y≤x≤y21≤y≤3 r t y ∫3d∫ x ty J 3丌 In 2 22 x=y

0 y x 1 1 3 3 y = x x = y D 2     + = y y x x y y I d    dy .       + =     x y D y x y y x y y I D d d : . ln 2 2 1 12 3 = −  . 7. 计算