高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（三）多元微积分学课件 第一章 多元函数微分学（1.4）第四节 全微分方向导数梯度

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学 多元微积分学

高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学 （三） 多元微积分学

第一章 多元函数微分学 教案编写:刘楚中曾金平 电子制作:刘楚中曾金平

第一章 多元函数微分学 教案编写：刘楚中 曾金平 电子制作：刘楚中 曾金平

第一章多元函数微分学 本章学习要求 1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法 3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件 5.理解方向导数的概念,并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系

第一章 多元函数微分学 本章学习要求： 1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连 续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函 数”表示法。 3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。 了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的 偏导数和全微分的几何意义。 4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计 算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。 了解求偏导与求导顺序无关的条件。 5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度 的关系

6.会求隐函数包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7.知道二元函数的泰勒公式形式。 8.知道n元函数的偏导数概念及其求法。 9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法 10.了解空间平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 1l.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12.理解二元函数无约束极值的概念,能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值(有约束极值)的概念,能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题

6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。 7. 知道二元函数的泰勒公式形式。 8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。 9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。 10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。 12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。 13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题

第四节全微分 方向导数 度

第四节 全微分 方向导数 梯度

全微分 我们以二元函数为主,进行讲解,所得结论可 容易地推广至三元和三元以上的函数中

我们以二元函数为主, 进行讲解, 所得结论可 容易地推广至三元和三元以上的函数中. 一 . 全微分

回忆一元函教的微分 若存在仅与x有关的实数A,使得 △y=A△x+0(△x) 则称函数f(x)在点x处可微,Ax为函数f(x) 在点处的微分,且 dy=f(x)dx,dx=△x 可微<→可导

回忆一元函数的微分 , 若存在仅与 x0 有关的实数 A 使得 y = Ax + o(x) ( ) , ( ) 0 则称函数 f x 在点x 处可微 Ax为函数 f x 在点处的微分, 且 d y = f (x)d x , d x = x 可微  可导

运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中 元函数的增量<〉多元函数的全增量

运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中. 一元函数的增量 → 多元函数的全增量

回忆一元微分的几何意义 T y=f(x) tand= dd △d X xx+△xx 元:用切线上的増量近似曲线上的增量 多元:用切平面上的增量近似曲面上的増量

回忆一元微分的几何意义 O x y x d x x x + x y = f (x)  d d tan x y  = 一元: 用切线上的增量近似曲线上的增量. 多元: 用切平面上的增量近似曲面上的增量. T

应用Ax,△y的某一个 发性函数表示二元函数的全增量△z △z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =aAx+b△y+a a,b是与△和△y无关的常数 C应该是一个元穷小量

应用 的某一个 线性函数表示二元函数的全增量 x, y z: =  +  +  = +  +  − a x b y z f x x y y f x y ( , ) ( , ) a, b 是与 x 和y 无关的常数 ,  应该是一个无穷小量