高等院校非数学类本科数学课程：《大学数学》课程PPT教学课件（一）一元微积分学课件 第27讲 广义积分

高等院校非数学类本科数学课程 大学数学(一) 一元微积分学 第二十七讲广义积分 脚本编写:刘楚中 教案制作:刘楚中

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十七讲 广义积分 脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中

第五章一元函数的积分 本章学习要求: 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式 理解广义积分的概念掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限

第五章 一元函数的积分 本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限

第五章一元函数的积分 第五节广义积分 无穷区间上的积分 二、瑕积分 广义积分的柯西主值 四、T函数

第五章 一元函数的积分 第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分 四、函数 三、广义积分的柯西主值

我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分.在科学技术和工程中,往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分,有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作

我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作

无穷积分—无穷区间上的广义积分 1.无穷积分的概念 设函数f(x)在[a,+∞)上有定义 VA∈R,A>a,且f(x)∈R([a,A]).记 f(x)dx=lim f(x)d x A→+0Ja 称之为f(x)在[a2+∞)上的无穷积分 若式中的极限存在,则称此无穷积分收敛,极限值 即为无穷积分值;若式中的极限不存在,则称该无穷积 分发散

一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分 设函数 f (x) 在[a, + )上有定义.  A R , A  a , 且 f (x) R([a, A]). 记 ( )d lim ( )d ,   →+ + = A a A a f x x f x x 称之为 f (x) 在[a, + )上的无穷积分. 若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值 即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积 分发散. 1. 无穷积分的概念

类似地可定义: (1) f(x)dx=lim I f(x)dx (B<b) B→ +∞ (2)f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx lim f(x)dx+lim f(x)dx B→-∞JB A→-Jc 若「f(x)dx与「f(x)dx同时收敛,则称f(x)dx收敛 一0 若」f(x)dx与「()dx至少有一个发散,则」f(x)dx发散 对」f(x)dx而言,由定积分对区间的可加性, 显然其收敛性与c值无关为方便起见,通常取c=0

类似地可定义： (1) f (x)d x lim f (x)d x (B b). b B B b =    − →−    + − + − (2) ( )d = ( )d + ( )d c c f x x f x x f x x lim ( )d lim ( )d .   →− →− = + A A c c B B f x x f x x 若 ( )d 与 ( )d 同时收敛， 则称 ( )d 收敛.    + − + − f x x f x x f x x c c 若 ( )d 与 ( )d 至少有一个发散, 则 ( )d 发散.    + − + − f x x f x x f x x c c 对 ( )d 而言，由定积分对区间的可加性， + − f x x 显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c = 0

例候 计算 xe +∞ e dx=l A+00“e计 u=x Im d A→+∞2J0 能否将这里的书 -ul A 写方式简化? A→)+∞2 e+ A→)+∞2

例 1解 d . 0 2  + − x e x 计算 x   − →+ + − = A x A x x e x x e x 0 0 d lim d 2 2 2 令 u = x  − →+ = 2 0 d 21 lim A u A e u2 0 ( ) 21 lim u A A e − →+ = − ) 21 21 lim ( 2 = − + − →+ A A e . 21 = 能否将这里的书 写方式简化？

为书写方便起见,若F(x)是∫(x)的一个原函数,则约定 f(dx=F(x)o = lim F(x)-F(a f(xdx= F(x)b=F(6)-lim F(x) f(xdx= F(x)l+oo= lim F(x)-lim F(x) x→-0 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了

为书写方便起见，若 F(x) 是 f (x)的一个原函数，则约定 ( )d ( ) lim ( ) ( ). f x x F x 0 F x F a a x = = − →+ + +  f (x)d x F(x) F(b) lim F(x). x b b →− − − = = −  f (x)d x F(x) lim F(x) lim F(x). x→+ x→− + − + − = = −  这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了

例2计算+x ∞ 解 dx arctan x 01+x 0 lim arctanx-arctan 0 x→)+0o

例 2解 . 1 d 0  2 +  + xx 计算 +  +  = +  0 0 2 arctan 1d x xx = lim arctan −arctan 0 →+ x x . 2 =

囫3计算∫x 1+x 解∫ +∞dx arctan x +∞ ∞1+x lim arctan x- lim arctan x X→)+00 1+x

例 3解 . 1 d  2 +  −  + xx 计算 +  −  +  −  = +  arctan 1d 2 x xx lim arctan x lim arctan x x→+ x→− = − ) 2 ( 2  = − − =  . O x y 2 1 1 x y + = 1