中国科学技术大学：《电磁学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 静磁场中的磁介质

第六章静磁场中的磁介质 (对比第二章中的电介质6节) §6.1 磁场对电流的作用 §6.2 磁介质及其磁化强度 §6.3 磁介质中静磁场的基本定理 §6.4 介质的磁化规律 §6.5 边值关系和唯一性定理 *§6.6 磁像法 §6.7 磁路定理及其应用 *§6.8 磁荷法

第六章 静磁场中的磁介质 （对比第二章中的电介质6节） §6.1 磁场对电流的作用 §6.2 磁介质及其磁化强度M §6.3 磁介质中静磁场的基本定理 §6.4 介质的磁化规律 §6.5 边值关系和唯一性定理 ﹡§6.6 磁像法 §6.7 磁路定理及其应用 ﹡§6.8 磁荷法

§6.1 磁场对电流的作用 一磁场对电流的力和力矩（温故知新) 研究磁场对物质的作用时，实际上是研究磁场对 物质内部电流的作用。根据第五章5.1节介绍的洛伦兹 力公式和安培力公式，我们可求得外磁场B对运动点 电荷、线电流、面电流和体电流系统的作用力如下： F=qV×B, (6.1.1) F=pIdl×B (6.1.2) F- J∬ix BdS, (6.1.3) F= j∬i×Bd 6.1.4)

§ 6.1 磁场对电流的作用 一 .磁场对电流的力和力矩（温故知新） 研究磁场对物质的作用时，实际上是研究磁场对 物质内部电流的作用。根据第五章5.1节介绍的洛伦兹 力公式和安培力公式，我们可求得外磁场B 对运动点 电荷、线电流、面电流和体电流系统的作用力如下： F  qV  B, , S   dS  F i B V   dV.  F j B    L F Idl B (6.1.1) (6.1.2) (6.1.3) (6.1.4)

从安培力公式出发，还可以推出电流在外磁场中所受 力矩的表达式，结果为： L=Φrx(IdL×B) (6.1.5) L=『rx(ixB)dS (6.1.6) S L= rx(jx B)dv (6.1.7） 应用上述公式，应先求出外磁场B。有时候，由外磁场 和受作用电流的磁场合成的总磁场B:容易计算。在这 种情况下，应从B,中减去受作用电流的贡献B,才得到 外磁场B,即 B=B-B. (6.1.8)

从安培力公式出发, 还可以推出电流在外磁场中所受 力矩的表达式，结果为: ( ) S    dS  L r i B ( ) V    dV  L r j B (6.1.5) (6.1.6) (6.1.7) 应用上述公式，应先求出外磁场B。有时候，由外磁场 和受作用电流的磁场合成的总磁场 容易计算。在这 种情况下，应从 中减去受作用电流的贡献 才得到 外磁场B，即 Bt Bt B1   . B Bt B1 (6.1.8) ( ) L   Id   L  r L B

与静电场问题类似处理，将B1代之以电流元自身产生的 磁感应强度即可，这不会影响最终结果。体电流元和面 电流元在其附近产生的磁感应强度易于求得，结果如下： (1)体电流元在其附近产生的磁感应强度为零，这是 由于dWr3,B~dW/2~r,r0则B→0（参看例5-5）。 (2)面电流元在其两侧产生的磁感应强度存在间断， 大小为4i/2,方向相反并与面元相切（见例5.7)； 可以预计，B,也存在同样性质的间断，以至按式(6.1.8) 算出的B不会有间断。 应当指出，上述分析不能推广到线电流元。可以 证明，一个闭合线电流中的任一小段线电流所受的内力 趋于无穷大；在需要分析这种内力时，我们必须放弃线 电流近似，考虑它是有限载截面尺寸的通电导线

与静电场问题类似处理，将B1代之以电流元自身产生的 磁感应强度即可，这不会影响最终结果。体电流元和面 电流元在其附近产生的磁感应强度易于求得，结果如下: （1）体电流元在其附近产生的磁感应强度为零，这是 由于 ， ， 则 (参看例5-5)。 （2）面电流元在其两侧产生的磁感应强度存在间断， 大小为 ，方向相反并与面元相切（见例5.7）； 可以预计， 也存在同样性质的间断,以至按式(6.1.8） 算出的B 不会有间断。 应当指出，上述分析不能推广到线电流元。可以 证明，一个闭合线电流中的任一小段线电流所受的内力 趋于无穷大；在需要分析这种内力时，我们必须放弃线 电流近似，考虑它是有限截面尺寸的通电导线。 3 dV ~ r 2 B1 ~dV/r ~r r0 1 B  0 0  i / 2 Bt

二、计算举例 [例6.1]有两根无限长平行直载流导线，电流强度 为1、L2,相距为6，求其中一根单位长度受的力。 [解]由例5.1的结果，导线2在 导线1处产生的磁感应强度为 B2=412(2)，方向如右图所示。 再由式（6.1.2)求得导线1单位 长度受力为： F= L=2x1074L2 B2 2πr 当1，和1，同向时，该力为引力。1948年第九届国际 计量大会直接从上式出发来定义电流强度的单 位一“安培

二、计算举例 [例6.1] 有两根无限长平行直载流导线，电流强度 为 I 1 、I 2 ，相距为 r0 ，求其中一根单位长度受的力。 [解] 由例5.1的结果，导线2在 导线1处产生的磁感应强度为 ，方向如右图所示。 再由式（6.1.2）求得导线1单位 长度受力为: /(2 ) 2 0 2 0 B   I r 0 1 2 7 1 2 0 0 2 10 . 2 I I I I F r r       当 和 同向时，该力为引力。1948年第九届国际 计量大会直接从上式出发来定义电流强度的单 位—“安培” 。 1I 2 I

[例6.2] 求一电流强度为！的载流线圈在均匀磁场B中 所受的力和力矩。 [解]由式(6.1.2) (对载流线圈，用dr代d)得： F=∮IdL×B=(④d)×B=0 即载流线圈在均匀磁场中受力为零。利用关系式： rx(drx(B(rdr) 和式6人5)，可求得： L号r5或rrR86

[例6.2] 求一电流强度为I 的载流线圈在均匀磁场B中 所受的力和力矩。 [解] 由式（6.1.2）（对载流线圈，用dr代dl）得: 即载流线圈在均匀磁场中受力为零。利用关系式: 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 2 r  dr  B  r  dr  B  d r r B  B r  dr 和式（6.1.5），可求得: 0 0 ( ) 0 L L Id  d  I   F = L B = r B = ( ) [ ( )] . 2 L 2 L L I I   d   d   I  d    L r r B r r B B r r   

上式右边的积分项在例5.3中曾碰到并处理过。第一项 为m×B,m为载流线圈的磁矩；第二项为全微分的闭路 积分，其值为零；第三项由于r·dr=d(r2/2),其值 也为零。这样，载流线圈在均匀磁场中受的力矩为： L=mx B. (6.1.9) 如果在非均匀外磁场中，只要线圈尺寸远小 于磁场的非均匀尺度，则相对于线圈中心点而言，线 圈所受的力矩仍由式（6.1.9)表示，不过线圈受力 不再是零

上式右边的积分项在例5.3中曾碰到并处理过。第一项 为m×B, m为载流线圈的磁矩；第二项为全微分的闭路 积分，其值为零；第三项由于 ，其值 也为零。这样，载流线圈在均匀磁场中受的力矩为： ( / 2) 2 r  dr  d r L  m B. 如果在非均匀外磁场中，只要线圈尺寸远小 于磁场的非均匀尺度，则相对于线圈中心点而言，线 圈所受的力矩仍由式（6.1.9）表示，不过线圈受力 不再是零。 (6.1.9)

[例6.3]求电流强度为1、单位长度匝数为n的无穷 长螺线管单位表面受力。 [解]由例5.6，无穷长螺线管在管内外沿轴向的B,分 别为4nl和0。由例5.7，考虑到面电流密度为i=nl 则螺线管面元△S对内、外侧磁场的贡献为±4l/2 于是，对受作用面元△S而言，按式(6.1.8)算得的外 磁场为4nl/2 进一步可根据式（6.1.3)计算单位面积面元受力，结 果为： △F i△S×B △S △S △S2 2 24n212 该力的方向垂直于面元并指向螺线管外侧

则螺线管面元 对内、外侧磁场的贡献为 。 于是，对受作用面元 而言，按式（6.1.8）算得的外 磁场为 。 进一步可根据式（6.1.3）计算单位面积面元受力，结 果为: S 0  nI / 2 S 0  nI / 2 0 0 2 2 0 1 . 2 2 2 F S i S nI nI i n I S S S                 i B 该力的方向垂直于面元并指向螺线管外侧

■ 类似于例5.6，若考虑螺线管存在一等效的轴向电流，则该 电流的面密度为i,=I/(2πR)。仿照上述步骤即按式(6.1.8) 算得管面上的外磁场为B,=4,I/(4πR,它与管面相切并与管轴 垂直。因此，单位面积面元受一指向管轴的力，大小为： i,B1=41/(8元R)。一般情况下，这力比上面指向螺线 管外侧的力小得多，可忽略不计

§6.2 磁介质及其磁化强度M 磁体具有吸引铁磁性物质的能力，并把这种能力定 义为磁性。这里不仅磁体具有磁性，而且被吸引着的铁 磁性物质也具有磁性。 处于磁场中的其它物质都或多或少具有磁性，只是 远不如铁磁性物质的磁性那样强。使物质具有磁性的物 理过程叫做磁化，而一切能够磁化的物质叫做磁介质。 下面我们来分析磁介质磁化的定量描述、实验规律 和微观机制。 磁化强度 根据安培分子电流假说，已磁化物质的磁性来源 于物质内部有规则排列的分子电流，即分子磁矩。用 量2m分子 表示体积元△V中所有分子磁矩的矢量和

§ 6.2 磁介质及其磁化强度M 磁体具有吸引铁磁性物质的能力，并把这种能力定 义为磁性。这里不仅磁体具有磁性，而且被吸引着的铁 磁性物质也具有磁性。 处于磁场中的其它物质都或多或少具有磁性，只是 远不如铁磁性物质的磁性那样强。使物质具有磁性的物 理过程叫做磁化，而一切能够磁化的物质叫做磁介质。 下面我们来分析磁介质磁化的定量描述、实验规律 和微观机制。 一 、 磁化强度 根据安培分子电流假说，已磁化物质的磁性来源 于物质内部有规则排列的分子电流，即分子磁矩。用 量 m分子 表示体积元 V 中所有分子磁矩的矢量和