湖南工业大学（株洲工学院）：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七节 傅里叶（Fourier）级数

第七节傅里叶( Fourier)级数 巴一、问题的提出 三角级数三角函数系的正交性 四三、函数展开成傅里叶级数 巴四、小结思考题

、问题的提出 一SinT¨ 43 5 王页下

一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 o t u −  1 −1       − −    = t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 不同频率正弦波逐个叠加 sin7 , 7 1 4 sin5 , 5 1 4 sin3 , 3 1 4 sin , 4 t t t  t      

u= sint T 0.5 2 上

u sint 4  =

u=(sint+sin 3t) T 3 1 上页

sin3 ) 3 1 (sin 4 u t + t  =

u=-(sint+sin 3t+=sin 5t) T 3 5 0.5 t 2 1 上页

sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t  =

u=-(Sint +sin 3t+=sin 5t+= 7t) T 3 5 0.5 1 上页

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t  =

u=-(sint+sin 3t +=sin 5t +=sin7t+sin 9t) T 3 5 t 2 u(t)=(sint sin 3t +sin 5t +=sin 7t+...) T 3 5 (一π<t<π,t≠0) 上页

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 ( ) + + + +  u t = t t t t (−  t  ,t  0) sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t + t  =

庄二、三角级数三角函数系的正交性 1.三角级数 分0)=A,+24(m0m+9)谐波分析 n-=1 =A+2(A, sin %, cos not+A, cos p, sinnot) 1 工工工 A =Ao, a,=A, sin(pm, bn =A, cos (u,ot=x, 2 a+∑( la cos nx+ b sinn)三角级数 2 上页

二、三角级数 三角函数系的正交性 = +   +   =1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A n t 1.三角级数 谐波分析   = = +   +   1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A n t A n t +  +  =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a , 2 0 0 A a 令 = sin , n An n a =  cos , n An n b =  t = x, 三角级数

2.三角函数系的正交性 三角函数系 1. cos x sinx. cos 2x. sin 2x.. cos nx. sin nx 正交: 庄任意两个不同函数在x7上的积分等于零 牛∫ cos nxdx=0,∫ sinned=o 上页

2.三角函数系的正交性 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,  [ , ] . : 任意两个不同函数在 上的积分等于零 正 交 −  cos = 0, −   nxdx sin = 0, −   nxdx 三角函数系

sin mx sinnxdx ∫0,m≠n ∫rc 0,m≠n cos mx cos ndx= n sin mx cos ndx=0.(其中m,n=1,2,…) 上页

, , 0, sin sin     =  =   − m n m n mx nxdx , , 0, cos cos     =  =   − m n m n mx nxdx sin cos = 0.   − mx nxdx (其中m,n = 1,2, )