北京化工大学：《微积分》课程教学资源（试卷习题）工科数学分析试卷——2010—2011学年第一学期《微积分（I）》期末

北京化工大学2010一2011学年第一学期 《微积分》期末考试试卷 课程代码MAT14700T☐ 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 二 三 四 五 七 八九总分 得分 一、(12分)求下列极限 D(-网.2)册-x,》,9-（x-+》

1 北京化工大学 2010——2011 学年第一学期 《微积分》期末考试试卷 课程代码 M A T 1 4 7 0 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一、（12 分）求下列极限 1） ( ) 3 3 lim 1 n n n →+ + − , 2） 0 lim 1 2 x x x → − , 3) 0 1 lim ln x x x → +       , 4) 2 1 lim ln(1 ) x x x →+ x     − +  

1 二、10分)设5-1长≤1中2求证： 1){}是单调增序列，且xn反-1 2)1im,=5-1 2

2 二、（10 分）设 1 1 1 2 1 1, 2 n n x x x −   = + + ，求证： 1） x2n 是单调增序列，且 x2n  − 2 1 ; x2 1 n−  是单调减序列，且 2 1 2 1 n x −  − 2） lim 2 1 n n x → = −

三、(10分)说明函数f(x)= 产-的连续性（即在何处连续、何处间断、何种 x2-1） 性质的间断)、单调性、凹凸性、渐近线。 3

3 三、（10 分）说明函数 ( ) 2 2 ( ) 1 x x f x x x − = − 的连续性（即在何处连续、何处间断、何种 性质的间断）、单调性、凹凸性、渐近线

四、(10分)设函数∫，g为[a,b]区间上的连续函数，在(a,b)上可导，且ab>0,求 证存在5a,).使得b-@=j)-5f)） a-b

4 四、（10 分）设函数 f g, 为 [ , ] a b 区间上的连续函数，在 (a b, ) 上可导，且 ab  0 ,求 证存在  (a b, ) ，使得 ( ) ( ) af b bf a ( ) ( ) f f a b    − = −  −

五、(12分) 1)求曲线x=2y-y,x+y=0所围图形面积。 》设鱼线c是自面导芳=1为面：0 +e 的交线，求曲线从点(a,0,0)到 2 点(x,,)的弧长。 5

5 五、（12 分） 1） 2 求曲线x y y x y = − + = 2 , 0所围图形面积。 2）设曲线 C 是曲面 2 2 2 2 1 x y a b − = 和曲面 2 z z a a e e x a − + = 的交线，求曲线从点 ( ,0,0) a 到 点 0 0 0 ( , , ) x y z 的弧长

六、(12分) 1)求f(x,y)=x'在点(L,4)的二阶Taylor展开式，并用它近似计算(1.08)3%的值 2）设：=pke,且e=0.试确定a,b,使得函数：满足方程 dxoy :_正_+：=0 6

6 六、（12 分） 1）求 ( , ) y f x y x = 在点 (1,4) 的二阶 Taylor 展开式，并用它近似计算 3.96 (1.08) 的值 2 ） 设 2 ( , ) 0, ax by z x y e x y   +  = =   ，且 试确定 a b, , 使 得 函 数 z 满足方程 2 0 z z z z x y x y    − − + =    

七、(12分) 1D求曲线+广+：=9在22，)处的曲率x x2-z2=3 2)计算曲面2=1上平行于平面x+y+:+3=0的切平面方程 7

7 七、（12 分） 1）求曲线 2 2 2 2 2 9 3 x y z x z  + + =   − = 在 (2,2,1) 处的曲率  2）计算 曲面xyz x y z = + + + = 1 3 0 上平行于平面 的切平面方程

八、(10分)求f(x,y)=在圆周(x-1)+y2=1上的最大、最小值。 8

8 八、（10 分）求 2 2 f x y xy x y ( , ) ( 1) 1 = − + = 在圆周 上的最大、最小值

d =-3x1+2x,+1 九、(12分)考虑方程组 4=-3x+4x,-1,1∈0，+)，其中未知量 x1=x(),x2=x() D指平发接快称方温 =-3x+2x+1 dt 变换为方程组 =-3x+4x-1 d山 =ay+a d山 =ay+an ，求a,b及矩阵A=aiae） (a21a2 d 2)计算矩阵A=:的特征根么，入和相应的特征向量，求矩阵T满足 rT-0a】 20) 构造变换）= ，证明在此变换下方程组 （2 dy=+dy: = 变为 d =a+a 会= 3)利用1、2)求解x(),x()

9 九、（12 分）考虑方程组 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 3 4 1 8 (0) , (0) 4 3 dx x x dt dx x x dt x x  = − + +     = − + −   = =   ，t  + [0, ) ，其中未知量 1 1 2 2 x x t x x t = = ( ), ( )， 1）构造平移变换 1 1 2 2 y x a y x b  = −   = − 将方程组 1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 4 1 dx x x dt dx x x dt  = − + +    = − + −  变换为方程组 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 dy a y a y dt dy a y a y dt  = +    = +  ，求 a b, 及矩阵 11 12 21 22 a a a a   =     A 2）计算矩阵 11 12 21 22 a a a a   =     A 的特征根 1 2  , 和相应的特征向量，求矩阵 T 满足 1 1 2 0 0   −   =     T AT ，构造变换 1 1 2 2 y z y z         =     T ，证明在此变换下方程组 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 dy a y a y dt dy a y a y dt  = +    = +  变为 1 1 1 2 2 2 dz z dt dz z dt    =    =  3）利用 1）、2)求解 1 2 x t x t ( ), ( )