机器人运动学：数学基础——齐次坐标和齐次变换

机器人运动学 第二章数学基础齐次坐标和齐次变换

机器人运动学 第二章 数学基础—齐次坐标和齐次变换

杜志江、纪军红 科学园c1栋机器人研究所 206室 86414462-12 duz j01ghit. edu. cn junhongji@hit.edu.cn 世∥《走带 机人研竞所 参考教材 机器人学 付京逊《机器人学》 蔡自兴《机器人学》re

杜志江、纪军红 • 科学园C1栋机器人研究所 206室 • 86414462-12 • duzj01@hit.edu.cn • junhong.ji@hit.edu.cn 参考教材 • 付京逊《机器人学》 • 蔡自兴《机器人学》

2.1引言 机器人位置和姿态的描述 机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具,用以 操纵物体 人们感兴趣的是操作机末端执行 H/n 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述,也就是机器人的运动 a 学问题 16 机器人的运动学即是研究机器人B 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系

2.1 引言 机器人位置和姿态的描述 • 机器人可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体  i n o a • 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系

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运动学研究的问题 Where is my hand? 运动学正问题 Direct Kinematics HEREI How do i put my hand here? 运动学逆问题 Inverse Kinematics Choose these angles

运动学研究的问题 Where is my hand? Direct Kinematics HERE! How do I put my hand here? Inverse Kinematics: Choose these angles! 运动学正问题 运动学逆问题

丹纳维特( Denavit)和哈顿贝格( Hartenberg) 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 其数学基础即是次变 关节 关节t+1 关节t-1 连杆t 1连杆 连杆i+1 连杆i

• 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人 的运动学问题—D-H方法 • 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换

22点和面的齐次坐标 2.2.1点的齐次坐标 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个(n+1)维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间,也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。 下=a7+b+cK式中i;k为x,y,z轴上的单位矢量, 列矩阵 ai ,w为比例系数 x ≈=Xyzw 显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随 w值的不同而不同。在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值,但 在机器人的运动分析中,总是取=1

2.2 点和面的齐次坐标 2.2.1 点的齐次坐标 • 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。 v ai bj ck     = + + x y z  T w w z y x V =           = 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量， a= , b= , c= ，w为比例系数 w x w y w z 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随 w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但 在机器人的运动分析中，总是取w=1 。 列矩阵

[例]: V=3i+4j+5k 可以表示为: v=[3451T 或V[68102] 或V=[-12-16-20-4]T

[例]： V i j k     = 3 + 4 +5 可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T

齐次坐标与三维直角坐标的区别 V点在∑Oxz坐标系中表 示是唯一的(x、y、z 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的Ⅴ点在空间 位置上不变

齐次坐标与三维直角坐标的区别 • V点在ΣOXYZ坐标系中表 示是唯一的（x、y、z） • 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。 x y z z z x V 图2-2 o

几个特定意义的齐次坐标: 0,0,0,m坐标原点矢量的齐次坐标,n 为任意非零比例系数 1000指向无穷远处的OX轴 0100T指向无穷远处的OY轴 0010指向无穷远处的Oz轴 是2个常用的公式: ab=abab tab a×b=a.a,a (a,b-a.b,)i+(ab-ab)j+(a,b-a,b )k b b

几个特定意义的齐次坐标： • [0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n 为任意非零比例系数 • [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴 • [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴 • [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴 2个常用的公式： x x y y z z a b = a b + a b + a b a b a b i a b a b j a b a b k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z     = = ( − ) + ( − ) + ( − )