西安建筑科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（释疑解难）第1章 复变函数

教学内容释疑解难 第1章 复方程a2+bz+c=0(a≠0)的求根公式z=-b+√b2-4 中b2-4ac为什么要求不等 答:因为关于复数方根=zn(即"=z)的定义中要求w≠0, 若z=0必有w=0 而√b2-4ac为复数方根的形式,因此公式中b2-4ac≠0 事实上,因为 +b2+c=0 所以 4ac-b 若b2-4ac=0,则 b 证明:(a)若In==lnr+ib(r>0, 60,π0,Re(=2)>0时, (=1=2)=lnx1+lnz2+2ki(k=0) 当Re(=1)>0或Re(二2)>0时

教学内容释疑解难 第 1 章 1. 复方程 )0( 0 的求根公式 2 acbzaz ≠=++ a acbb z 2 4 2 −+− = 中 为什么要求不等 于 0. 4acb2 − 答：因为关于复数方根 n zw 1 = (即 n = zw )的定义中要求 w ≠ 0 , 若 必有 z = 0 w = 0. 而 4acb2 − 为复数方根的形式，因此公式中 04 . 2 acb ≠− 事实上，因为 0 2 cbzaz =++ 所以 0 4 4 ) 2 ( 2 2 2 = − ++ a bac a b z 若 04 , 则 2 acb =− a b z 2 −= . 2. 证明： (a) 若 π ) 4 9 4 π θ rrz ,0( ilnln θ += ，那么 iln2iln 2 = ； (b) 若 π ) 4 11 π 4 3 θ rrz ,0( ilnln θ += ，那么 iln2iln 2 ≠ . 证：(a) )1ln(iln π i , 2 Q =−= i) π i 2 π |i|(ln2iln 2 =+= iln2iln 2 ∴ = ; (b) )1ln(iln π i , 2 Q =−= π 5i) π i 4 10 |i|(ln2iln 2 =+= ; iln2iln 2 ∴ ≠ . 由(a)、(b)可知：幅角主值的定义范围可由复平面上原点引出的任一条射线为起始边、终边来划分， 随之相关的性质也可能发生变化. 3. 证明：对任何非零复数 21 和 zz 2lnln)ln( π )1 ,0( i 21 1 2 ++= kkzzzz = ± . 证： 因为当 0)Re( ,0)Re( 时, z1 > z 2 > 2lnln)ln( π )0( i 21 1 2 ++= kkzzzz = . 当 0)Re( 0)Re( 时, z1 > 或 z2 >

g=1 larg=, +arg=,st arg(=2)=arg-, +arg=2+2r, larg=, arg=p n|1=2}=ln|=1|+n| n(二12)=ln=1+ln=2+2kri(k=0,±1) 当Re(=1)π n|=1=2|=n|1|+ln| n(二122)=ln=1+ln=2+2kπi(k=0,±1) 综上所述,对任何非零复数z1和二2都有 n(二12)=ln1+ln=2+2kri(k=0,±1) 4.求证:三个复数=1,2,=3成为等边三角形顶点的必要与充分条件是 3=212+223+23 证:三角形=1=23是等边三角形的必要与充分条件为:向量=2绕=旋转或-,得向量=1=3, 即3-21=(=2-=1)e3或 两边平方化简得结论

zz 21 )arg( = ⎩ ⎨ ⎧ + ≤+ ±+ >+ |argarg| , argarg π ; 2argarg π |argarg| , π . 1 2 1 2 1 2 1 2 zz zz zz zz ||ln||ln||ln 21 1 2 += zzzz 2lnln)ln( π )1 ,0( i 21 1 2 ++= kkzzzz = ± 当 0)Re( 0)Re(z1 + |arg arg| ,argarg π ; |arg arg | , 2argarg π . 1 2 1 2 1 2 1 2 zz zz zz π zz ||ln||ln||ln 21 1 2 += zzzz 2lnln)ln( π )1 ,0( i 21 1 2 ++= kkzzzz = ± . 综上所述，对任何非零复数 都有 21 和 zz 2lnln)ln( π )1 ,0( i 21 1 2 ++= kkzzzz = ± . 4. 求证：三个复数 成为等边三角形顶点的必要与充分条件是: 321 , , zzz 133221 2 3 2 2 2 1 ++=++ zzzzzzzzz . 证： 三角形 zzz 321 是等边三角形的必要与充分条件为： 向量 21zz 绕 旋转 1 z 3 π 或 3 π − 得向量 1 3 zz ， 即 i 3 π 1213 e)( ± −=− zzzz 或 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 12 13 12 13 ±=− − − ⇒±= − − zz zz zz zz 两边平方化简得结论