湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律和中心极限定理（5.2）中心极限定理

第五章第二节 中心极限定理

第五章第二节 中心极限定理

中心极限定理的客观背景 在实际问题中,常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响 射善误差 例如:炮弹射击的落点与目标的偏差,就受 着许多随机因素的影响

中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响

如瞄准时的误差, 空气阻力所产生的误差, 炮弹或炮身结构所引起的误差等等 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响 射善误差

空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等

自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后,人们发现,正态分布 在自然界中极为常见 观察表明,如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成,而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大.则这种量一 般都服从或近似服从正态分布

观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见

现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题 当n无限增大时,这个和的极限分布是 什么呢? 在什么条件下极限分布会是正态的呢?

现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？

由于无穷个随机变量之和可能趋于∞, 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量 ∑Xk-E(∑X k=1 k=1 C ∑X) 的分布函数的极限

由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量    = = = − = n k k n k n k k k n Var X X E X Z 1 1 1 ( ) ( ) 的分布函数的极限

∑Xk-E(∑Xk) 考虑 k=1 的分布函数的极限 arC∑X 可以证明,满足一定的条件,上述极 限分布是标准正态分布.这就是下面要介 绍的 中心极限定理

   = = = − = n k k n k n k k k n Var X X E X Z 1 1 1 ( ) ( ) 的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极 限分布是标准正态分布. 考虑 中心极限定理 这就是下面要介 绍的

在概率论中,习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理 我们只讨论几种简单情形 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理,也称列维一林德伯格 Levy- Lindberg)定理

在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理

定理1(独立同分布下的中心极限定理) 设X1,X2,是独立同分布的随机 变量序列,且E(X)=Var(X)=a2, i=1,2,,则 lim Pi e"tdt n→)0 G√n 元 它表明,当n充分大时,n个具有期望和方差 的独立同分布的:之和近似服从正态分布

lim { } 1 x n X n P n i i n   − = →   定理1（独立同分布下的中心极限定理）   = x - -t 2 e dt 2 1 2  它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 设X1 ,X2 , …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi )= Var(Xi )= ， i=1,2,…，则 2  

定理(棣莫佛一拉普拉斯定理) 设随机变量y服从参数n,p(0p<1)的 二项分布,则对任意,有 lim Pi e 2 dt 2兀 定理表明,当n很大,0p1是一个定值 时(或者说,mp(1-)也不太小时),二项变 量Yn的分布近似正态分布Np,mp(1p)

定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） } (1 ) lim { x np p Y np P n n  − − → 设随机变量 服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有 Yn e dt x t − − = 2 2 2 1  定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 的分布近似正态分布N(np,np(1-p)). Yn