中国科学技术大学：《高聚物的结构与性能》课程教学资源（讲稿）从Maxwell速度分布函数直接推导高分子链末端距的径向分布函数

USTC 中斜爹执术大学 0ER回回@EA回时回回F画0NA 从 Maxwe|速度分布函数 直接推导 高分子链末端距的径向分布函数 w(h)=a 3-B2h 2 4兀h 主讲:朱平平

从Maxwell速度分布函数 直接推导 高分子链末端距的径向分布函数 主讲 :朱平平 ( ) 2 2 3 2 4 h W h e h β α π − ′ = ⋅ ′

1高分子链均方末端距的统计计算法 维空间的无规行走问题 三维空间的无规行走问题 2.相关性 3.从 Maxwel速度分布函数直接推导高分 子链末端距的分布函数 4讨论

1.高分子链均方末端距的统计计算法 一维空间的无规行走问题 三维空间的无规行走问题 2. 相关性 3.从Maxwell速度分布函数直接推导高分 子链末端距的分布函数 4.讨论

维空间的无规行走 Z b Z+b 沿x轴无规行走,每步长为b,总共走了Z步 z++2=2 Z-Z=m 解得: Z+ m Z- m 2

一维空间的无规行走 Z -b 0 mb Z + b 沿x轴无规行走，每步长为b，总共走了Z步 Z Z + − + = Z Z Z + − − = m 解得： 2 2 Z m Z Z m Z + − + = − =

实现这种无规行走的几率 走出Z步和Z步,共有多少种走法 Z Z W(Z2)=71Z1 Z+m, 2-m, 实现这种无规行走的几率: Z Z W(Z, m) Z+m12-m,(2 Z+m12-m,(2 2 2

实现这种无规行走的几率 走出 Z +步和Z-步，共有多少种走法： ( ) ! ! ! ! ! ! 2 2 Z Z W Z Z Z Z m Z m ± + − = = + − 实现这种无规行走的几率： ( ) ! 1 1 ! 1 , 2 2 2 ! ! ! ! 2 2 2 2 Z Z Z Z Z W Z m Z m Z m Z m Z m + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − ⎝ ⎠

几率密度函数一高斯函数 在Z>1,m<<Z的假设条件下,作斯特林近似 再将有关项作级数展开,略去高次项得: W(Z,m) 222 走Z步后离原点的距离:x=mb 2 停在x→)x+Ax的几率:W(Z,x)Ax 2222 26 B W/(Z,x)= 2Z6

几率密度函数—高斯函数 在 Z >>1，m Z << 的假设条件下，作斯特林近似， 再将有关项作级数展开，略去高次项得： ( ) 2 2 2 , m W Z m Z e π Z − = ⋅ 走Z步后离原点的距离： x m= b ( ) 2 2 2 2 , 2 x Zb x W Z x x e π Z b − ∆ 停在 x x → + ∆x 的几率： ∆ = ⋅ ⋅ ( ) 2 2 , x W Z x e β β π − ′ ′ 令 ： = ⋅ 2 2 1 2Zb β′ =

三维空间的无规行走 在三维空间无规行走过程中,每走一步b时,它在各坐 标轴上投影(bx,by,bz)为多少? 令b与x轴的夹角用v表示,则b在x轴上的投 b=bcos y hsinψ b=cosy 丌 2rb sinybdy CoS y= coS y 4兀b b.=0

三维空间的无规行走 在 三维空间无规行走过程中，每走一步 b时，它在各坐 标轴上投影（ b x ， b y ， b z）为多少？ 令 b 与 x轴的夹角用ψ表示，则b在x轴上的投影 co s x b b = ψ co s x b b = ψ 2 0 2 s i n co s c o s 0 4 b b d b π π ψ ψ ψ ψ π ⋅ = = ∫ 0 x b =

维空间的无规行走—每一步 在三维空间无规行走过程中,每走一步b时,它在各坐 标轴上投影(b3,by,b)为多少? b=b cos y 2Thsiny hdy cos y COS 2 vb—3b 4兀h 2

三维空间的无规行走——每一步 在 三维空间无规行走过程中，每走一步 b时，它在各坐 标轴上投影（ b x ， b y ， b z）为多少？ 2 2 2 co s x b b = ψ 2 2 2 0 2 s i n 1 co s c o s 4 3 h h d h π π ψ ψ ψ ψ π ⋅ = = ∫ 2 2 3 x b b = 2 3 x b b =

三维空间的无规行走—Z步 在三维空间无规行走Z步后,在三个坐标轴上投影值为 hx→>h+h2,hy→>hy+dhy,h2→>h:+h2 的几率分别是: B′ w(Z,h )dh Bh 元 W(Zh)dh Bh y dh w (Z, h )dh,=ep dh 元 B 2Z62 2Z622Z62 226

三维空间的无规行走——Z 步 在 三维空间无规行走 Z步后，在三个坐标轴上投影值为 ( ) 2 2 , z h W Z z z z h dh e dh β β π − ′ ′ = , , x x x y y y z z z h → + h dh h → h + dh h → h + dh ( ) 2 2 , x h W Z x x x h dh e dh β β π − ′ ′ = 的几率分别是： ( ) 2 2 , y h W Z y y y h dh e dh β β π ′ − ′ = 2 2 222 111 3 222 2 x y z Z b Z b Z b Zb β′ ====

0 dxdydz Y 三维空间的无规行走 高斯分布函数

三维空间的无规行走 高斯分布函数

三维空间的无规行走Z步 h:) 在三维空间无规行走Z步后,出现在(h,dh,dh 的几率是: W(Z,b)h=W(z,)形(,,)形(Z,h) w(Z, h)ch=/8) B(+ th dh dhdh 元 B W(Zhdh e b-h dhdh dh 元

三维空间的无规行走——Z 步 在 三维空间无规行走 Z步后，出现在 (dh x , , dh y dh z ) 的几率是： W ( ) Z, , ( x ) ( , y ) ( , z x ) y z h dh = W Z h W Z h W Z h dh dh dh ( ) ( ) 2 2 2 2 3 , x y z h h h W Z x y z h dh e dh dh dh β β π ⎛ ⎞ ′ − + ′ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 3 , h W Z x y z h dh e dh dh dh β β π − ′ ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠