《高等数学》课程教学资源：第二章 函数的微分（2.1）概述

函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中,还会遇 到与导数密切相关的另一类问题,这就是当自变 量有一个微小的增量时,要求计算函数的相应的 增量。一般来说,计算函数增量的准确值是比较 繁难的,所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念—微分

函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分

、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x0+△x, △x 正方形面积A=x, △4=(x0+△x)2-x0 A =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Ax的线性函数且为△4的主要部分; (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略

一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 设边长由x0变到x0 + x x0 0 x x x , 2 0 正方形面积 A = x 2 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0  x + x (1) x x 0 x x 0 (1): x的线性函数,且为A的主要部分; (2) 2 (x) (2): x的高阶无穷小,当x很小时可忽略

再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量Ay △y=(x+△x)3-x8 =3x2△x+3x·(△x)2+(△x)3 当△x很小时,(2)是△x的高阶无穷小o(△x) .Ay≈3xa·△x 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

再例如, , . 0 3 x y y x x   = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0  x + x  x + x (1) (2) 当x很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x), 3 . 2 0 y  x  x 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

二、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义 x及x0+Δx在这区间内如果 y=∫(x0+△x)-∫(x)=A.△x+0(△x) 成立(其中4是与Ax无关的常数),则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称4△x为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 记作小=或d(x即小sn=A△x 微分d叫做函数增量Δy的线性主部微分的实质)

二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x =   =  =     = +  − =   +  +  = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部( . 微分的实质)

由定义知: (1)小y是自变量的改变量A的线性函数 (2)△y-=0(△x)是比Ax高阶无穷小 (3)当A≠0时,与是等价无穷小; 的1+O(△x) △y A·At~)1(x→>0) (4)A是与△无关的常数但与f(x)和x有关; (5)当x很小时,4≈小(线性主部)

由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A  0时,dy与y是等价无穷小; dy y  A x o x    = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部)

三、可微的条件 定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x 证(1)必要性∵f(x)在点x可微, ∴Δy=A·△x+0(x), N=f+O(△x) △v 则im29=A+lim 0(△x)=A. △x→0△ △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且4=f(x)

三、可微的条件 定理 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 =  函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) ,  f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y   = +    x o x A x y x x   = +    →  → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f 

(2)充分性∵函数f(x)在点x可导, △y=f(x0, △ △x→>0△ 即分=∫(xn)+α, △v 从而Δy=f(x0)·Ax+α(△x),∵α>0(△x→>0) f(x0)·△x+0(△x), 函数∫(x)在点x可微,且∫(x)=A 可导台可微.A=f(x0) 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作小或矿f(x),即如=f(x)△x

(2) 充分性 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x =      → ( ) , =  0 +    f x x y 即 ( ) ( ), 从而 y = f  x0  x +  x  → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f  x0  x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f  x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f  , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x =   = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的

由微分的定义及上述定理可知若f(x)在x处可导 则f(x)在x处可微,且=f(x0)Ax 当M关0时1m=m4 40dx0f(x)4 →!~(4x→>0)→4=+0(4y) 4y-dy 4y-f'(roar m In Ax→>0 x→0 4 f(xo =0

由微分的定义及上述定理可知 若f (x)在x0处可导 则f (x)在x0处可微，且dy = f (x0 )x 当f (x0 )  0时 1 ( ) lim lim 0 0 0 =  = → → f x x y dy y x x       y ~ dy (x → 0)  y = dy + o(y) y y f x x y y dy x x        ( ) lim lim 0 0 0 −  = − → →            = − → x y f x x    ( ) lim 1 0 0 = 0

这表明在f(x0)≠0的条件下当x→Q时4- 不仅是比Ax高阶的无穷小,而且也是比4 高阶的无穷小,因此d是4的主要部分 通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分 记作x,即x=△x y=∫(x)x =f'(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也微商

这表明 在f (x0 )  0的条件下当x → 0时 y − dy 不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y 高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分 , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy =  该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于

四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当△y是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, y=f(r) 就是切线纵坐标 △x 对应的增量 0x0+4 当Δx很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN

四、微分的几何意义 几何意义:(如图) x y o y = f (x) x0 M T ）  x + x 0 P N x y dy o(x) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当  很小时 在点 的附近