《高等数学》课程教学资源：第三章 Taylor公式（3.4）曲率

曲率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度—切线的倾斜角) 的改变量

曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量

弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=,当M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号

一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM

单调增函数S=s(x) R 设N(x+Ax,y+△y),如图, x +△xx MNd, MT=x)2+(y)2=1+y2dr M=Ay-d→0,故=+y2dc,弧微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=1+y"2x

单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN  MN  MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y    = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o

二、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 △S △S, M △S1 △S,丿N 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大

二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N  弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1

设曲线C是光滑的, M是基点MM=△s M S △a M→M切线转角为△a.|M a+△o 定义 弧段MM的平均曲率为K=△a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △s>0△S 在ma2=a存在的条件下,K= △->0△Sds ds

+   S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K    =  弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s   =  →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s   =    → . ds d K  =

注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 设y=∫(x)二阶可导,:tana 有 a= arctan y, dx 1+y d=1+y2bk.∴k (1+y2)

2.曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d +    = . (1 ) 2 3 2 y y k +    = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx

设X=q(,2二阶可导, y=y(t) dy_y oo dy o' (ty(t)-"(ty'(t) dx (t) d p(t) .k=p(ty(t)-"(ty(r q"(t)+y2(t)2

, ( ), ( ), 设 二阶可导    = = y t x t   . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k        +    −    = , ( ) ( ) t t dx dy      = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   =

例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, = 「1+(2ax+b) 显然,当x=-。时,k最大 2a b b2-4ac 又∴( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大

例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + +  = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b −  − − 抛物线在顶点处的曲率最大

例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续地由零过渡到(R为圆弧轨道的 半径通常用三次抛物线y,x∈|0,xl 作为缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓 冲段O4在始端O的曲率为零,并且当很小 R R<1时,在终端A的曲率近似为1 R

). ( 1 , , 半径 使曲率连续地由零过渡到 为圆弧轨道的 稳，往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行 驶平 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处 R R 例2 . 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 时，在终端 的曲率近似为 冲段 在始端 的曲率为零 并且当 很小 作为缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓 通常用三次抛物线 ， ．  = 

证如图 x的负半轴表示直道 ……}e R O4是缓冲段,AB是圆弧轨道 IT A(o, VO 在缓冲段上 C(x0,0) 2RI Rl 在x=0处,y=0,y”=0,故缓冲始点的曲率k=0 实际要求l≈x0

x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x 证 如图 x的负半轴表示直道， OA是缓冲段,AB是圆弧轨道. 在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y = . 1 x Rl y = 在x = 0处, y = 0, y = 0, 0. 故缓冲始点的曲率k0 = 实际要求 , x0 l  l