《高等数学》课程教学资源：第五章 定积分习题课

定积分习题课

定积分 习题课

主要内容 问题1 问题2: 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 存在定理(定积分网广义积分 定 牛顿-莱布尼茨公式 计 性积 质分 T f()dx=F(b)-F(a 定积分

一 、主要内容 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 广义积分 定 积 分 的 性 质 牛顿-莱布尼茨公式 f ( x)dx F(b) F(a) b a    定 积 分 的 计 算 法

二、内容提要 1定积分的定义 定义的实质几何意义物理意义 2可积和可积的两个充分条件 3定积分的性质 线性性(x)±(x)=(x)d士(x) 可加性P f(x)dx=f(x)dx f(x)dx 非负性若f(x)≥0,则门(x)x≥0(a<b)

二、内容提要 1 定积分的定义 定义的实质 几何意义 物理意义 2 可积和 可积的两个 条件 3 定积分的性质 线性性   b a [ f (x) g(x)]dx   b a f (x)dx   b a g(x)dx 可加性  b a f (x)dx     b c c a f (x)dx f (x)dx 若f(x)0，则 ( )  0  f x dx b a 非负性 (a  b)

比较定理 若f(x)≤g(x),则f(xMs!g(x)x(a<b) 估值定理若M和m是f(x)在区间u,bl 上的最大值及最小值 m(b-a)sf(xdxsM(b-a) 积分中值定理 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续, 则在积分区间a2b上至少存在个点与, 使"f(x)=f(5)b-a)(a≤5≤b 积分中值公式

比较定理 若f(x) g(x)，则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) (a  b) 估值定理 f(x)在区间[a,b] 上的最大值及最小值， m(b a) f (x)dx M(b a) b a      . 积分中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点， 使 f x dx b a ( )  f()(ba) (a   b) 积分中值公式 若M 和 m 是

变上限定积分及其导数 如果∫(x)在a,b上连续,则积分上限的函数 x)=f(M在,b上具有导数,且它的导数 是0(x)=(M=f(x)(a≤xsb) 如果f(x)在[a,b上连续,则积分上限的函数 0(x)=f(xM就是f(x)在lb上的一个原函 数

变上限定积分及其导数 如果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( )  ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a     (a  x  b) 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( )  ( ) 就是 f ( x)在[a,b]上的一个原函 数

微积分基本公式如果F(x)是连续函数 f(x)在区间a,b上的一个原函数,则 /(x=F(b)-F(oJf(x)d=F(x 定积分的计算法牛顿一莱布尼茨公式 (1)换元法 Cf(rdx=flo(t)lo(tdt. 换元积分公式 (2)分部积分法 uav uv 、/6 v 分部积分公式

( ) [ ( )] . b a b a f x dx  F x  定积分的计算法 牛顿—莱布尼茨公式 （1）换元法 f x dx f t t dt b a      ( ) [( )] ( ) 换元积分公式 （2）分部积分法     b a b a b a udv [uv] vdu 分部积分公式 微积分基本公式 如果F(x)是连续函数 f (x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a  

利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分 ∫nf(x)t=limf(x)d b b f(x)d= lim f(x)dx (2)无界函数的广义积分 b f(xdx =lil im f(x)dx E→+0a+E b-a f(x)dx= lim f(x)dx E→+0a

利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算 广义积分 (1)无穷限的广义积分   a f (x)dx    b b a lim f (x)dx  b f (x)dx    b a a lim f (x)dx (2)无界函数的广义积分  b a f ( x)dx     b a f x dx   lim ( ) 0  b a f (x)dx       b a lim f ( x)dx 0

b b f(x)dx ∫nf(x)dx+ f(x)d C b lim f(x)dx+ lim f(x)dx E→)+0·a →+0c+E 三、典型例题 例1 求 sIn 0 sinx+ cos x 解由/= sInd dx,设J=[2 cosx 0 sinx+cos x 0 sinx+ cosx 则I+J=[2d T 0 2 SIn-cos d x_f2d(cos x+sinx) 0 sinx+ cosx 0. 0 sinx+ cosx 故得2Ⅰ= 即I 2

 b a f ( x )dx   c a f ( x )dx   b c f ( x )dx       c a lim f ( x)dx 0      b c f x dx   lim ( ) 0 三、典型例题 例1 . sin cos sin 2 0   dx x x x 求 解 , sin cos sin 2 0    dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0    dx x x x 设 J , 2 2 0       则 I J dx       2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J       2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x  0. , 2 2  故得 I  . 4  即 I 

例2广义积分中值定理 设x)在|a,b上连续,g(x)在|a,b上可积,且 不变号,则 ∈ab,使f(x)g(x)d=f(5)|g(x)tx 证因x)在[a,为上连续,故(x)在{a,b上必取得 最大值M和最小值m,m≤f(x)≤M 又g(x)在|a,b上不变号故不妨设g(x)≥0 →Jg(x)≥0mg(x)sf(x)g(x)≤Mg(x) →m」g(x)x≤」f(x)g(x)dxsM!g(x)d

例2 广义积分中值定理 设f(x) 在 [a ,b]上连续， g(x) 在 [a ,b]上可积，且 不变号，则      b a b a  [a,b],使 f(x)g(x)dx f() g(x)dx 证 因f(x) 在 [a ,b]上连续，故f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值M和最小值m， m f(x) M 又g(x) 在 [a ,b]上不变号 故不妨设 g(x) 0    b a g(x)dx 0 mg(x)  f (x)g(x)  Mg(x)       b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx

若∫8(x)d=0则由上式知∫f(x)g(x)d=0 →j/(x)gx)k=/)8号可取a,b内任一点 若∫则0J(x →M≤ M 由介值定理 ∫/(x)g(x)J( 5∈Ia,使f(5)=ab g(x)dx →∫/(x)g(x)=()x)d

若 ( )  0  b a g x dx 则由上式知   b a f (x)g(x)dx 0     b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx  可取[a ,b]内任一点 若     b a b a g(x)dx 0,则 g(x)dx 0 M g x dx f x g x dx m b a b a      ( ) ( ) ( ) 由介值定理      b a b a g x dx f x g x dx a b f ( ) ( ) ( )  [ , ] 使 ( )     b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx