《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.5）柱坐标系和球坐标系下的计算法

在柱坐标系和球坐标系下的计

在柱坐标系和球坐标系下的计算

在柱坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xOy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三 个数r,,z就叫点M的柱面坐标 X=rcos =sine M(,y, z) Z=Z 规定: 0<r<+00 P(r,6) 0≤0≤2π <z<+0

一 、在柱坐标系下的计算法 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )           . sin , cos , z z y r x r   x y z o M(x, y,z) P(r, )  r   规定： 0  r  , 0    2,    z  

景 圆柱面 6为常数 半平面 (x,y,=) z为常数 平面 如图,柱面坐标系中的体积元 b(r,⊙ 小hv=rlrl6lz, r 1e 5/(x, y, 2)drdy lIf(rose, rsin 0, z]rdrdalz de

r 为常数 圆柱面  为常数 半平面 z 为常数 平 面  M (x, y,z) P(r, )   r z x y z o 如图，柱面坐标系中的体积元 dv  rdrddz, d r x y z o dz dr rd    f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .    f r  r  z rdrddz

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先z次r后6 积分限是根据r,0,z在积分区域中的变化范围来确 定 例1∫∫(x2+p2+2M ,2:z=√x2+y2, 解将2投到xoy面得Dx2+y2≤1 0≤6≤2,0≤r≤1,r≤z≤1 (x+y+Xdv=de dr(r+)rdz

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后  积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确 定 r, ,z 例1 ( ) , : , 1 2 2 2 2 2       x y z dv  z x y z  解 将 投到xoy 面得D 1 2 2 x  y  0    2 ,0  r  1,r  z  1            2 0 1 0 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) r x y z dv d dr r z rdz

=2丌(r+ 33 r)dr= 3t 0 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时,通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 e 例2 ,dd2:z=√x2+y2,乙=1,=2 B√x2+y2

10 3 ) 3 4 3 2 ( 4 1 0 3        r dr r r 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 例2 , : , 1, 2 2 2 2 2       dxdydz z x y z z x y e z  

narcose 解 y=rsin,天键在于定出r,6, 的变化范围 ,r的范围容易定出0≤62m,0≤r≤2 呢?

解         z z y r x r   sin cos , 关键在于定出 的变化范围 r,,z  ,r 的范围容易定出 0    2 ,0  r  2 z 呢？

注意到当0≤r≤1时1≤r≤2 当1≤r≤2时P≤≤2 22-)+2』(2-Mt=2m2

注意到 当0 r 1时 1z2 当1r 2时 rz2 [ ] 2 1 2 2 0 1 0 2 1 rdz r e rdz dr r e I d dr r z z                  2 1 2 2 2 2 (e e) 2 (e e )dr 2 e r   

、在球坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原 点O与点M间的距离,p为有向线段OM与z 轴正向所夹的角,θ为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xoy面上的投影,这样的三个数r,g, 6就叫做点M的球面坐标

二、在球坐标系下的计算法 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三 个数 ， ， 逆时针方向转到有向线 段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M       ( , , )

X=Sinocos M(x,y, z) y=rsin o sin 8, Z=rcos. 规定01<+0 P 0≤q≤兀 0<0≤2元 r为常数→球面 q为常数=→圆锥面 6为常数 半平面

P x y zo M(x, y,z)  r   z y x A   cos . sin sin , sin cos ,     z r y r x r 规定 0r , 0, 0  2. r 为常数 球 面  为常数 圆锥面  为常数 半平面

如图,球面坐标系中的体积元素为0 rsp sindo dv=r sinodrdopd8 f(a, v, z)dxdyda 6 J f(rsin cose, rsinPsin0, rcos)r sindrdopde 然后把它化成对r0,q的三次积分 具体计算时需要将用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是先r次后0

如图，球面坐标系中的体积元素为 sin , 2 dv  r drdd d r x y z o dr r sind rd d   d r sin    f (x, y,z)dxdydz   ( sin cos , sin sin , cos ) sin . 2 f r   r   r  r drdd 然后把它化成对 r,, 的三次积分 具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是 先r次后