《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 导数与微分 2.4函数的微分

第四节函数的微分让人迷范的原因只有一个，那就是本该拼搏的年纪，却想的太多做的太少！

第四节 函数的微分 让人迷茫的原因只有一个，那 就是本该拼搏的年纪，却想的太多、 做的太少！

微分的定义定义如果存在与 △x无关的常数 A，使得Ay=A : △r + o(x),则称函数f(x）在x，点可微称 A·△x为函数f(x)在x点的微分记作dy或 df(x)x=xoX=X0即dy= A. △x.x=Xo

微分的定义 x x x x x x dy df x dy A x 0 0 0 ( ) , . = = = =   记作 或 即 x A y=A x x f x x A x f x x 0 0 , ( ), ( ) , ( ) .     +    如果存在与 无关的常数 使得 则称函数 在 点 称 为函数 在 定 可微 点的 义 微分

例1 设 y= x3,求 x=1,△x=0.1时函数增量和函数微分函数增量 Ay=(1+△x)3-13解= 3△x + 3(△x) + (△x)= 0.331,x3-13A = lim=3,x-→1x-1函数微分 dylr- = A△r=3.0.1=0.3

3 , 1, 0.1 . 1 设 y x x x = =  = 求 时函数增量和 函数微分 例 y x x x x 3 3 2 3 (1 ) 1 3 3( ) ( ) 0.331,  = +  − =  +  +  = 解 函数增量 x x A x 3 3 1 1 lim 3, → 1 − = = − x dy A x= 1 3 0.1 0.3. = 函数微分 =   =

可微的条件函数f(x）在x点可微的充要条件定理4.1是 f(x)在 x,点可导,且 A=f'(x,)令 y=x, 则 dy=dx =Axr,从而得 dy= f'(x)dx,dy进一步得到= f(x)(导数又称微商)dx

可微的条件 0 0 0 ( ) ( ) , ( ). f x x f x x A f x =  函数 在 点可微的充要条件 是 定 在 点可导 且 理4.1 令 y x dy = = , , 则 dx x =  从而得 dy f x dx = '( ) , dy f x dx 进一步得到 = '( ) ( ). 导数又称微商

例2 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分解 : y' = 2x,.:. dylr-- = 2dx,dylx=, = 6dx

y x x x 2 例2 求函数 = = = 在 1 . 和 3 处的微分 解 y x,  = 2 x dy dx, 1 2  = = x dy dx. 3 6 = =

微分的几何意义Ny= f(x)P-AydyMolxo + △rXo微分表示曲线上切点处纵坐标的增量

微分的几何意义 微分表示曲线上切点处纵坐标的增量. dyy O y f x = ( ) x0 x x 0 +  M N P

基本初等函数的微分公式dy = f'(x)dx导数的四则运算法则微分的四则运算法则(Cu)'= Cu'd(Cu) = Cdu(u±v)'=u'±vd(u±v)=du±dy(uv)'= u'v+ uv'd(uv) = vdu + udyvdu-udyuv-uvd(-)=1

基本初等函数的微分公式 dy f x dx = '( ) 导数的四则运算法则 ( )' ' Cu Cu = ( )' ' ' u v u v  =  ( )' ' ' uv u v uv = + u u v uv v v 2 ' ' ( )' − = 微分的四则运算法则 d Cu Cdu ( ) = d u v du dv ( )  =  d uv vdu udv ( ) = + u vdu udv d v v 2 ( ) − =

例3 设 y=3x2-ln-,求dy.解法1解法23x2 - In =dy = d(3x2 - In -)北X= d(3x + Inx)=(3x2 + Inx)1= 3dx2 + d lnx=6x+一x= 6xdx + dx.xdx.6x+-dX

y x dy x 2 1 例3 设 = − 3 ln , . 求 解法1 d x x 2 = + (3 ln ) dx d x 2 = + 3 ln xdx dx x 1 = + 6 . 2 1 dy d x (3 ln ) x = − 解法2 2 1 y x3 ln x     = −     2 = x x (3 ln ) +  1 = x6 , x + 1 dy x dx 6 . x    = +    

例4设y=xcosx,求dy解法1 dy =d(xcosx)= dx : cosx + xd cosx= cosxdx - xsinxdx= (cosx - xsinx)dx.解法2 y'=(xcosx)=cosx-xsinx,.. dy = (cos x -- x sin x)dx

例4 设 y x x dy = cos , . 求 解法1 dy d x x = ( s ) co =  + dx x xd x cos cos = − cos sin xdx x xdx = − (cos sin ) . x x x dx ( cos ) cos sin , (cos si ) 2 n . y x x = x x x dy x x x dx   = −  = − 解法

微分近似计算公式f(x, +Ax)~ f(x)+ f(x)·△r特别地，令 x。= 0, △x = x 得到函数 f(x)在点x=0附近的近似公式：f(x) ~ f(0)+ f'(O) · x

微分近似计算公式 f x x f x f x x 0 0 0 ( ) ( ) '( ) +   +   x x x f x x 0 , 0, ( ) 0 =  = = 特别地 令 得到函数 在点 附近的近似公式： f x f f x ( ) (0) '(0)  + 