西安电子科技大学出版社：面向21世纪高等学校信息工程类专业系列教材《数字信号处理 Digital Signal Processing》课程教学资源（PPT课件）第2章 离散傅里叶变换

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 第2章离散傅里叶变换 21引言 2,2周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 23离散傅里叶级数(DFS)的性质 24有限长序列离散傅里叶变换(DFT) 2.5离散傅里叶变换的性质 2.6频域采样理论 BACK

第2章 离散傅里叶变换 第2章 离散傅里叶变换 2.1 引言 2.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 2.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 2.5 离散傅里叶变换的性质 2.6 频域采样理论

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 21引言 在第1章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列,因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要,当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它, 但是,这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点,可以导出一种更有用的变换:离散傅 里叶变换( Discrete fourier Transform,简写为DFT)。它本身 也是有限长序列

第2章 离散傅里叶变换 2.1 引 言 在第1章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅 里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身 也是有限长序列

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 作为有限长序列的一种傅里叶表示法,离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外,而且由于存在有效的快速算法—快 速离散傅里叶变换,因而在各种数字信号处理的算法中起着核 心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散 傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换,我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式,见图2-1所示

第2章 离散傅里叶变换 作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法——快 速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核 心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式，见图2-1所示

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 x() X 2) Ax(nT) X(eo) 1/T N点—x N点一 N点 图2-1各种形式的傅里叶变换

第2章 离散傅里叶变换 图 2-1 各种形式的傅里叶变换 x a (t) －  t x p (t) o o t Tp x(nT) o N点 xp (n) o N点 nT n (a) (b) (c) (d) | Xa ( j )| 1 － 0 o  0  | Xp ( jk )| o k －  | X( ej )|  1/T | X( ejk )| s  o － o  N点  s T

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 个非周期实连续时间信号xa()的傅里叶变换,即频谱a (g2)是一个连续的非周期函数,这一变换对的示意图见图2-(a) 该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周 期连续时间信号x(ω)的情况相同。 个周期性连续时间信号x(),其周期为T,该信号可展成 傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为(k),即x(的傅里叶变 换或频谱X〔⑨是由各次谐波分量组成的,并且是非周期离散频 率函数,x0)和Xjg)的示意图见图2-1(b)。其中,离散频谱相 邻两谱线之间的角频率间隔为=2mF=277,k为谱谐波序号

第2章 离散傅里叶变换 一个非周期实连续时间信号xa (t)的傅里叶变换，即频谱Xa (jΩ)是一个连续的非周期函数，这一变换对的示意图见图2-1(a)。 该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周 期连续时间信号xa (t)的情况相同。 一个周期性连续时间信号xp (t)，其周期为Tp，该信号可展成 傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为 ，即xp (t)的傅里叶变 换或频谱Xp (jkΩ)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频 率函数，xp (t)和Xp (jkΩ)的示意图见图2-1(b)。其中，离散频谱相 邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=2πF=2π/Tp，k为谱谐波序号。 ( ) ~ X k p

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 在第1章里讨论了一个非周期连续时间信号x()经过等间隔 采样的信号(x(n),即离散时间信号—序列x(n),其傅里叶 变换Y(e)是以2π为周期的连续函数,振幅特性如图2-1(c)所示。 这里的ω是数字频率,它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振 幅特性的频率轴用g表示,则周期为Ω2=2/T 比较图2-l(a)、(b)和(c)可发现有以下规律:如果信号频 域是离散的,表现为周期性的时间函数。相反,在时域上是离 散的,则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设 想,一个离散周期序列,它一定具有既是周期又是离散的频谱, 其振幅特性如图2-1(d所示

第2章 离散傅里叶变换 在第1章里讨论了一个非周期连续时间信号xa (t)经过等间隔 采样的信号（x(nT)），即离散时间信号——序列x(n)，其傅里叶 变换X(ejω)是以2π为周期的连续函数，振幅特性如图2-1(c)所示。 这里的ω是数字频率，它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振 幅特性的频率轴用Ω表示，则周期为Ωs =2π/T。 比较图2-1(a)、（b）和(c)可发现有以下规律：如果信号频 域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离 散的， 则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设 想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱， 其振幅特性如图2-1(d)所示

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 表2-1四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期 非周期和离散 离散和非周期 周期和连续 散和周期 周期和离散

第2章 离散傅里叶变换 表2-1 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期 非周期和离散 离散和非周期 周期和连续 散和周期 周期和离散

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 可以得出一般的规律:一个域的离散对应另一个域的周期 延拓,一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这 四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。 下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论,然 后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变 换

第2章 离散傅里叶变换 可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期 延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这 四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。 下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然 后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变 换

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 22周期序列的离散傅里叶级数DFS) 设X(m)是一个周期为N的周期序列,即 x(m)=x(n+rN)r为任意整数 周期序列不是绝对可和的,所以不能用Z变换表示,因为在 任何值下,其Z变换都不收敛,也就是 ∑|X(n)|="F=

第2章 离散傅里叶变换 2.2 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 设 是一个周期为N的周期序列， 即 ( ) ~ ( ) ~ x n = x n + rN ( ) ~ x n r为任意整数 周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在 任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是   =− − =  n n x (n) || z | ~|

门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 但是,正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样, 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示,该级数相当于成谐 波关系的复指数序列(正弦型序列)之和。也就是说,复指数 序列的频率是周期序列x(n)的基频(2π/N)的整数倍。这些复 指数序列e(n)的形式为 2兀kn Pk(n) k+rN 式中,k,r为整数

第2章 离散傅里叶变换 但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐 波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数 序列的频率是周期序列 的基频（2π/N）的整数倍。这些复 指数序列ek (n)的形式为 ( ) ~ x n ( ) ( ) 2 e n e ek rN n kn N j k +       = =  （2-1） 式中, k, r为整数