延安大学：《大学物理》课程教学资源_复习指南（重点难点指导）第六章 气体动理论

重点难点指导 第六章气体动理论 1.基本概念 1)平衡态 在不受处界影响的条件下,系统的宏观性质不随时间改变的状态称为平衡态.所谓 “不受处界影响”是指系统与外界没有能量变换,即外界对系统既不作功又不传热.处 于平衡态的热力学系统其内部无定向的粒子流动和能量流动,此时系统的宏观性质不随 时间变化,但组成系统的微观粒子仍处在不停的无规则运动之中,因此这种平衡态又称 为热动平衡状态.平衡态是一种理想状态,绝对平衡是不存在的 系统处于平衡态时具有下列特点 (1)由于气体分子的热运动和频繁的相互碰撞,系统各部分的密度、温度、压强等宏 观量趋于均匀 (2)分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势.即分子沿各方向运动的机会 均等 2状态参量及理想气体的状态方程 我们将能够确定热力学系统平衡态的宏观量(如温度、压强、体积等)称为状态参 平衡态下,理想气体的状态方程为

重点难点指导 第六章 气体动理论 1．基本概念 1)平衡态 在不受处界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态称为平衡态．所谓 “不受处界影响”是指系统与外界没有能量变换，即外界对系统既不作功又不传热．处 于平衡态的热力学系统其内部无定向的粒子流动和能量流动，此时系统的宏观性质不随 时间变化，但组成系统的微观粒子仍处在不停的无规则运动之中，因此这种平衡态又称 为热动平衡状态．平衡态是一种理想状态，绝对平衡是不存在的． 系统处于平衡态时具有下列特点： (1)由于气体分子的热运动和频繁的相互碰撞，系统各部分的密度、温度、压强等宏 观量趋于均匀． (2)分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势．即分子沿各方向运动的机会 均等． 2)状态参量及理想气体的状态方程 我们将能够确定热力学系统平衡态的宏观量（如温度、压强、体积等）称为状态参 量． 平衡态下，理想气体的状态方程为

pIs M RT,或p=mT 式中M为理想气体的质量,μ为lm理想气体的质量(或Mmd) 3)理想气体模型 理想气体的微观模型具有如下特点: (1)分子本身的大小与它们之间的平均距离相比可以忽略不计 (2)除碰撞外,分子间的相互作用力可以忽略不计 (3)碰撞为完全弹性碰撞.在两次碰撞之间,分子作匀速直线运动 因此,理想气体可看作大量的、自由的、不停地无规则运动着的弹性分子小球的集 2.理想气体的压强公式 压强是大量子气体分子对容器壁不碰撞的结果,其实质是大量气体分子施于单位面 积器壁上的平均冲力 推导理想气体压强公式的步骤如下 (1)求任一速度为v的分子i一次碰撞器施于器壁的冲量,得出2mva (2)求分子/在单位时间内施于器壁冲量的总和,2m分 (3)求所有N个分子在单位时间内施于器壁的总冲量为,∑va (4)求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量,即压强:

RT M pV   ，或 p  nkT ． 式中 M 为理想气体的质量，  为 m ol l 理想气体的质量（或 Mmol）． 3)理想气体模型 理想气体的微观模型具有如下特点： (1)分子本身的大小与它们之间的平均距离相比可以忽略不计． (2)除碰撞外，分子间的相互作用力可以忽略不计． (3)碰撞为完全弹性碰撞．在两次碰撞之间，分子作匀速直线运动． 因此，理想气体可看作大量的、自由的、不停地无规则运动着的弹性分子小球的集 合． 2． 理想气体的压强公式 压强是大量子气体分子对容器壁不碰撞的结果，其实质是大量气体分子施于单位面 积器壁上的平均冲力． 推导理想气体压强公式的步骤如下： (1)求任一速度为 v 的分子 i 一次碰撞器施于器壁的冲量，得出 2mvix． (2)求分子 i 在单位时间内施于器壁冲量的总和， 2 2 1 1 2 ix ix ix v l m l v mv  ． (3)求所有 N 个分子在单位时间内施于器壁的总冲量为  N i ix v l m 1 2 1 ． (4)求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量，即压强：

∑v =m.n·1=-m·1 12.I,, L,. m-2是气体分子的平均平动动能.是一个统计平均值.所以,压强公式是 个统计规律而不是力学规律.对个别分子来说,谈压强是无意义的 3.理想气体的温度 由理想气体的状态方程p=nT及压强公式,两式联立,消去p可得 上式揭示了气体温度的统计意义,即气体的温度是气体分子平均平动动能的量度.温 度是大量气体分子热运动的集体表现,具有统计的意义,对个别分子,说它有温度是没 有意义的 4.能量均分原理 1)自由度 确定一个力学系统的位置所需要的独立坐标的数目 理想气体分子的自由度;单原子分子i=3;刚性双原子分子i=5;刚性多原子分子 2)能量按自由度均分原理 处于平衡态的理想气体,分子的每一自由度都具有大小等于亠kT的平均能量.困此 自由度为i的分子的平均能量为。。1 - kT 3)理想气体的内能 由于理想气体忽略了分子间的相互作用,因此理想气体的内能只是温度的单值函数

m n v m n v n N v l l l m N v l m l l p i x N i N i x i i x 3 2 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2 3 2 2 3 1                  2 2 1  w  mv 是气体分子的平均平动动能．是一个统计平均值．所以，压强公式是一 个统计规律而不是力学规律．对个别分子来说，谈压强是无意义的． 3． 理想气体的温度 由理想气体的状态方程 p  nkT 及压强公式，两式联立，消去 p 可得 kT 2 3   ． 上式揭示了气体温度的统计意义，即气体的温度是气体分子平均平动动能的量度．温 度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计的意义，对个别分子，说它有温度是没 有意义的． 4． 能量均分原理 1)自由度 确定一个力学系统的位置所需要的独立坐标的数目． 理想气体分子的自由度；单原子分子 i  3 ；刚性双原子分子 i  5 ；刚性多原子分子 i  6 ． 2)能量按自由度均分原理 处于平衡态的理想气体，分子的每一自由度都具有大小等于 kT 2 1 的平均能量．困此， 自由度为 i 的分子的平均能量为 kT i 2   ． 3)理想气体的内能 由于理想气体忽略了分子间的相互作用，因此理想气体的内能只是温度的单值函数．

lmol理想气体的内能为 E=-RT 质量为M的理想气体,其内能为 E 5.麦克斯韦速率分布律 1)速率分布函数 设某气体系统处于平衡态,气体分子的总数为N,速率分布在~v+d区间内的分 子数为dN,则速率分布函数为/(m)=dN它表示分布在速率附近单位速率区间 内的分子数占分子总数的百分比;也表示一个分子的速率处于v附近单位速率区间的概 率 2麦克斯韦速率分布 f(v) 麦克斯韦从理论上导出理想气体在平衡态下 的速率分布函数的形式为 f()=4m/.m 12/2kT 2kT 速率分布曲线如图6-1所示.图中曲线下窄条O yy v+di dN,它表示分子速 图6-1 长方形的面积为f(y)dh 率在ν~v+h区间内的概率 )三种统计速率 (1)最概然速率v 在vf(v)~v的关系曲线中,与f(v)的极大值相对应的速率叫最概然速率.它表示

1mo1 理想气体的内能为 RT i E 2  ． 质量为 M 的理想气体，其内能为： RT M i E 2    ． 5． 麦克斯韦速率分布律 1)速率分布函数 设某气体系统处于平衡态，气体分子的总数为 N，速率分布在 v ~ v  dv 区间内的分 子数为 dN ，则速率分布函数为 N dv dN f v  ( )  ，它表示分布在速率 v 附近单位速率区间 内的分子数占分子总数的百分比；也表示一个分子的速率处于 v 附近单位速率区间的概 率． 2)麦克斯韦速率分布 麦克斯韦从理论上导出理想气体在平衡态下 的速率分布函数的形式为 m v kT v e kT m f v 3/ 2 2 / 2 2 ) 2 ( ) 4 (       ， 速率分布曲线如图 6-1 所示．图中曲线下窄条 长方形的面积为 N dN f (v) dv  ，它表示分子速 率在 v ~ v  dv 区间内的概率． 3)三种统计速率 (1)最概然速率 p v 在 v f (v) ~ v 的关系曲线中，与 f (v) 的极大值相对应的速率叫最概然速率．它表示 f (v) v v  dv v P v v 2 v O N dN 图 6-1

分子的速率在ν_附近的概率最大.从麦克斯韦速率分布函数可求得 2KT 2N ≈141 (2)平均速率v T 8N,kT (3)均根速率√ 际=3x7=,3N4x7=173R7 m NAm 6.玻尔兹曼分布律 1)玻尔兹曼分布律 在一定温度的平衡态下,处于重力场中的气体分子的速度分量在区间v2~v2+hyx, y~",+dhy,v2~V2+h2,坐标在区间x-x+t,y-y+dy,~2+止内的 分子数dN(vx,V,,v2,x,y,z)为 d N(v,, vu ,v, x,y, =)=no( m -)3 /2. e-EEp)/kTav dv, dhv, dxdyd= 上式为玻尔兹曼分布律.式中n0是在势能E=0处的分子数密度 2)重力场中气压公式 p= po 式中P0是在高度z=0处的压,上式表示大气压强随高度z按指数减小 7.分子的平均碰撞频率和平均自由程 1)平均碰撞频率

分子的速率在 p v 附近的概率最大．从麦克斯韦速率分布函数可求得  RT N m N kT m kT v A A p 1.41 2 2    ． (2)平均速率 v    RT N m N kT m kT v A A 1.60 8 8    ． (3)方均根速率 2 v  RT NAm NAkT m kT v 1.73 2 3 3    ． 6． 玻尔兹曼分布律 1)玻尔兹曼分布律 在一定温度的平衡态下，处于重力场中的气体分子的速度分量在区间 x x dvx v ~ v  ， y y dvy v ~ v  ， z z dvz v ~ v  ，坐标在区间 x ~ x  dx ， y ~ y  dy ， z ~ z  dz 内的 分子数 dN(v ,v ,v , x, y,z) x y z 为 e dv dv dv dxdydz kT m dN v v v x y z n x y z E E kT x y z K P 3/ 2 ( )/ 0 ) 2 ( , , , , , ) (      上式为玻尔兹曼分布律．式中 n0 是在势能 Ep  0 处的分子数密度． 2)重力场中气压公式 mgz kt p p e / 0    式中 0 p 是在高度 z=0 处的压，上式表示大气压强随高度 z 按指数减小． 7．分子的平均碰撞频率和平均自由程 1)平均碰撞频率 z

式中d为分子的有效直径,n为分子数密度,v为分子的平均速率 2平均自由程 分子在连续两次碰撞之间飞行的平均距离 z√2m2n√2m2p 8.范德瓦尔斯方程 对质量为M的实际气体,必须考虑分子本身体积和分子间的作用力,其状态方程应 成 (P+ b)=-RT

z  d  nv 2 2 ， 式中 d 为分子的有效直径，n 为分子数密度， v 为分子的平均速率． 2)平均自由程  分子在连续两次碰撞之间飞行的平均距离． d p kT Z d n v 2 2 2 2 1       ． 8．范德瓦尔斯方程 对质量为 M 的实际气体，必须考虑分子本身体积和分子间的作用力，其状态方程应 写成 RT M b M V v M a p    (   )(  )  2 2 2 ．