广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）数列极限性质

§2收敛数列的性质 1.极限唯一性:(证) 2.收敛数列有界性——收敛的必要条件:(证) 3.收敛数列保号性: 定理24设20a0(或M,→a,(或,b,则3,3W>M,→a,>b2(证 a. lim b= b 定理25设 丑,n>M时有a2M,→|an|>r 4.定理(迫敛性)(证) 例2求

§ 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：（ 证 ） 2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） 3. 收敛数列保号性： 定理 2.4 设 或 . 则对 (或 (或 例 1 设 证明：若 则 （ 证 ） 定理 2.5 设 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）. 推论 若 则对 4. 定理（ 迫敛性 ） ( 证 ) 例 2 求

5.绝对值收敛性: mnan=a,→hmla|=|a (注意反之不确) 0. 证) 推论设数列{2;和{2}收敛,则 him max(a,, b,)=max( lim ax, lim b,), M ixf=min 6四则运算性质: N→6 例3求 bn2+…+n+b lim 例4求xa"+1 例5求 7.子列收敛性:子列概念 定理(数列收敛充要条件){2x}收敛兮:“}的任何子列收敛于同 极限

5. 绝对值收敛性: ( 注意反之不确 ). ( 证 ) 推论 设数列{ }和{ }收敛, 则 6.四则运算性质: 例 3 求 例 4 求 例 5 求 7. 子列收敛性: 子列概念. 定理 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 { }的任何子列收敛于同一 极限

定理(数列收敛充要条件){“x}收敛今子列{24}和{2}收敛于同 极限 定理(数列收敛充要条件){“}收敛台子列{241}、(“2k}和{“3k)都收 敛.(简证) 、利用数列极限性质求极限: 两个基本极限 mnQ=0,m=0.(||<1) 1.利用四则运算性质求极限 例 註:关于的有理分式当n→∞时的极限情况 例2.填空: (V2x2+130 +a2n-2 +hc lr 例3

定理 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 子列{ }和{ }收敛于同一 极限. 定理 ( 数列收敛充要条件 ) { }收敛 子列{ }、{ }和{ 都收 敛. ( 简证 ) 一、利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： 1. 利用四则运算性质求极限： 例 1 註： 关于 的有理分式当 时的极限情况 例 2. 填空: (1) (2) 例 3

lim ≠1. 例4a2+1 2.利用迫敛性的基本技法:大小项双逼法 例5求下列极限 /3-1)i(2x2+1 √4x2 hn5.1≤V=1252h+-2→ 例6 例 0,(1≤≤k lim/ai?+a2+…+a = maxi a1,a2,…, 求证 ,a 例8设,存在,若如=0则m=0 二利用子列性质证明数列发散

例 4 2.利用迫敛性的基本技法: 大小项双逼法 例 5 求下列极限: ⑴ ⑵ ⑶ 例 6 ( 例 7 求证 例 8 设 存在， 若 则 二.利用子列性质证明数列发散:

2x+(-1)2n 例9证明数列(3+1发散

例 9 证明数列 发散