高等学校计算机专业教材：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第一章 插值方法

高等学校计算机专业教材 GAODENG XUEXIAO ZHUANYE JIAOCA 数值计算方法 刘萍编 GAODENG XUEXIAO 飞 亼 人民邮电出版社 www. pptph. com. cn

第1章插值方法 插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前,我国历法上已经记载了应用 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日( Lagrange)、牛顿 Newton)、埃特金( Aitken)分别给出了 不同的解决方法。 点击此处结束放映

第1章 插值方法 插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法

1.1拉格朗旦插值么式 1.2牛顿插值么式 1.3埃搿金插值么式 1.4存在性一性定理 1.5插值余项 1.6分殿三次埃尔米符插值 1.7三次样条插值 1.8应用实例 点击此处结束放映

1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例

1.1拉格朗日插值么式 拉格朗日( Lagrange)插值公式 (以下统称为 Lagrange插值公式 的基本思想是,把pn(x)的构造问题转 化为n+1个插值基函数(x)(i=0,1,,n) 的构造。 点击此处结束放映

1.1 拉格朗日插值公式 拉格朗日（Lagrange）插值公式 ( Lagrange 插值公式) 的基本思想是，把pn (x)的构造问题转 化为n+1个插值基函数l i (x)(i=0,1,…,n) 的构造

y=f(x)m y=pn(x) x01 图1-1插值多项式 点击此处结束放映

图1－1 插值多项式

1.1的情况 已知函数yf(x)在点x,x1上的值为 J,,要求多项式y=n(x),使 (x0)=on1(x)=。其几何意义,就是 通过两点A(x2J),B(x1,y)的一条直线, 如图1-2所示。 点击此处结束放映

1.n=1 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为 y0,y1， 要 求 多 项 式 y=p1(x)， 使 p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义，就是 通过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的一条直线， 如图1－2所示

B y=力1(x y=f(r) A yO 了0 1 图1-2一次插值多项式 点击此处结束放映

图1－2 一次插值多项式

由直线两点式可知,通过A,B的直线方程为 yI-yo Vy=yo (x-x0)=p1(x).1) 它也可变形为(x)=x)yx+t1(x)y1 X-x x 其中0(x) 1(x)= 0 0 显然有:lx0=1x1)=1,lx1)=l1(xo)=0,D1(x0)=y PiG=y 点击此处结束放映

由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为p1 (x)=l 0 (x)y0+l 1 (x)y1 显然有：l 0 (x0 )=l 1 (x1 )=1，l 0 (x1 )=l 1 (x0 )=0，p1 (x0 )=y0， p1 (x1 )=y1 (1.1) 其中

我们称lx)为点x的一次插值基函数,l1(x)为 点x1的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 值为1,而在另外的插值点上取值为0。插值函数 px)是这两个插值基函数的线性组合,其组合系数 就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉 格朗日( Lagrange)插值。 点击此处结束放映

我们称l 0 (x)为点x0的一次插值基函数，l 1 (x)为 点x1的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 p1 (x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数 就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉 格朗日（Lagrange）插值

2n=2的情况 线性插值只利用两对值(x0)及(x1y1)求得 yfx)的近似值,误差较大。 P2(x0)=02(x1)=y12(x2)2 P2x)是x的二次函数,称为二次插值多项式 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。 点击此处结束放映

2.n=2 线性插值只利用两对值(x0 ,y0 )及(x1 ,y1 )求得 y=f(x)的近似值，误差较大。 p2 (x0 )=y0 ,p2 (x1 )=y1 ,p2 (x2 )=y2 p2 (x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值