北京理工大学：《工程力学》教学资源（PPT课件讲义）附录 II 平面图形的几何性质

工程力学(C (下册) (26) 北京理工大学理学陨力学系韩斌

北京理工大学理学院力学系 韩斌

附录Ⅱ平面图形的几何性质 静矩(一次矩)与形心 任意平面图形A(例如杆的横截面) 建立yz坐标系(x轴为杆的轴线) 平面图形的形心C aCUe 定义图形对y轴的静矩 dA S=EdA (I.1) 图形对z轴的静矩 静矩的单位:mm3,mm y4(.2

1. 静矩（一次矩）与形心 任意平面图形 A （例如杆的横截面） 建立 yz 坐标系（x轴为杆的轴线） O C(yc ,zc) y z 平面图形的形心C(yc ,zc) 定义 图形对 y 轴的   A y S zdA (II.1) 图形对 z 轴的   A z 静矩的单位：m S ydA (II.2) 3 ,cm3 ,mm3 A dA

静矩与形心 2 A C A C (I3) 静矩的性质 C (1)静矩与轴有关,可正可负可为零 (2)若yc,坐标轴过形心,则有 0 S.=0 2 (3)组合图形静矩可分块计算求代数和 2 S=A,V1+A 2 2C2 (4)求形心y= Vci a Az,+a C

静矩与形心 O C(yc ,zc) y z A A S A ydA y A z C    A S A zdA z A y C    ， （II.3） 静矩的性质 （1）静矩与轴有关，可正可负可为零。 （2）若yC,zC坐标轴过形心，则有  0 C y S  0 C z S yC zC （3）组合图形静矩可分块计算求代数和 A2 c2 A1 c1 z z1 z2 1 C1 2 C2 S  S  S  A y  A y （4）求形心 A A y A y A S y z C C C 1 1  2 2   A A z A z A S z y C C C 1 1  2 2  

2.惯性矩(二次矩) 定义图形对y,z轴的轴惯性矩 dA (I.4) A dA y du (I.5) J 图形对原点的极惯性矩 ∫l=2+)M=12+16 惯性矩的单位:m,cm4,mm4

2.惯性矩（二次矩） 定义 图形对 y，z 轴的   A y I z dA 2 (II.4)   A z I y dA 2 (II.5) 图形对原点的 z y A A p I  dA  y  z dA  I  I   ( ) 2 2 2  (II.6) 惯性矩的单位：m4 ,cm4 ,mm4 O C(yc ,zc) y z A dA

惯性矩的性质: (1)惯性矩与轴有关,恒为正。 A A fc (2)组合图形惯性矩可 分块计算求代数和。 (3)定义惯性半径,↓ VA (I7 A

O y z A 惯性矩的性质： （1）惯性矩与轴有关，恒为正。 （2）组合图形惯性矩可 分块计算求代数和。 A2 c2 A1 c1 z y (3)定义 A I i z z  A I i y y  (II.7) O y z A iz iy

例题 例题Ⅰ-1 §Ⅲl平面图形的几何性质 求矩形截面对轴的惯性矩 d 解: 1:ydA=y'bdy=b jody dA h b bh =6 3 12

例 题 II-1  例题求矩形截面对z轴的惯性矩 z h b 解： 3 12 ) 2 ) ( 2( 3 3 3 22 2 2 2 bh h h b I y dA y bdy b y dy h A A h z           dAdy

常见图形的惯性矩: 空心圆形: 矩形: 圆形: b Ta bh =1=mD4 64 12 64 丌D4 hb 64 丌D 12 32 P

常见图形的惯性矩： 矩形： h b y z 圆形： y z d 12 3 bh Iz  12 3 hb I y  64 4 d I I z y    32 4 d I p   z 空心圆形： y d D (1 ) 64 64 4 4 4 4          D D d I I y z (1 ) 32 4 4     D I p D   d

3惯性积 定义 d4(I8) dA J 惯性积的性质: (1)惯性积与轴有关,可正可负可为零。 (2)若y,z轴有一为图形的对称轴,则2=0

3.惯性积 定义   A yz I yzdA (II.8) 惯性积的性质： （1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。 （2）若 y , z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。 O C(yc ,zc) y z A dA

4平行移轴公式 若两组坐标轴分别平行,且其 中一组为形心轴,则 C(a,b)lb z A 1.+Aa I.9) +ab (I.10) I+Aab(I1.11) A为图形的面积,a,b为形心C在y坐标系中的坐标 平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩

4.平行移轴公式 若两组坐标轴分别平行，且其 O 中一组为形心轴，则 C(a,b) y z A yC zC a b 2 I I Aa C y  y  2 I I Ab C z  z  I I Aab C C yz  y z  (II.9) (II.11) (II.10) A 为图形的面积，a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标 平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩

例题 例题12§面图形的几何性质 H 求T形截面对其形心轴的惯性矩 h a fc 解:(1)求形心的位置 建立过形心的zC坐标系,及平行于 Cx轴的z轴 H A v,+a Hh+Hhh+o) 2C2 3+H VC A1+A2 sHh (2)求惯性矩 Vc H 1=ln+hh(yv-7)+12+h(h+ hh h+H、,hH h+H、 +hh +Hh(=Hh- 5(H2+h)+6Hh 12 24

例 题 II-2  例题 求T形截面对其形心轴的惯性矩。 解： 建立过形心的zCyC坐标系，及平行于 zC轴的z轴 24 5( ) 6 ) 4 ( 12 ) 4 ( 12 ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 H h Hh Hh h H Hh h H hH Hh Hh y H I Hh h h I I Hh y zC zC C zC C                     C zC yC z h (1)求形心的位置 h H H A1 A2 4 3 2 ) 2 ( 2 1 2 1 1 2 2 h H Hh H Hh h h Hh A A A y A y y C C C         yC (2)求惯性矩 C1 C2