《现代控制理论》课程教学资源——现代控制理论 课件_第3章能控性和能观3张厚升

G 电气与电子工程学院 第3章能控性和能观性3 主讲人：张厚升

第3章 能控性和能观性3 主讲人： 张厚升 电气与电子工程学院

3.9传递函数阵的实现问题 反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映系统中能控 且能观子系统的动力学行为。对于某一给定的传递函数阵将有无穷 多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个 内部不同结构的系统。从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构 的系统中，其中维数最小的一类系统就是所谓最小实现问题。确定 最小实现是一个复杂的问题，本节只是在前一节关于系统结构分析 的基础上对实现问题的基本概念作一简单介绍，并通过几个具体例 子介绍寻求最小实现的一般步骤

2 3. 9 传递函数阵的实现问题 反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映系统中能控 且能观子系统的动力学行为。对于某一给定的传递函数阵将有无穷 多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个 内部不同结构的系统。从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构 的系统中，其中维数最小的一类系统就是所谓最小实现问题。确定 最小实现是一个复杂的问题，本节只是在前一节关于系统结构分析 的基础上对实现问题的基本概念作一简单介绍，并通过几个具体例 子介绍寻求最小实现的一般步骤

3.9传递函数阵的实现问题 1实现问题的基本概念 状态空间分析法是现代控制理论的基础。因此， 如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首 先要解决的问题。对于结构和参数已知的系统，可以 通过对系统物理过程的深入研究后，直接建立系统的 状态空间表达式。但是，有很多实际系统，其物理过 程比较复杂，相互之间的数量关系又不太清楚。此时， 要直接导出其状态空间表达式显得十分困难，甚至是 不可能

3 3. 9 传递函数阵的实现问题 1 实现问题的基本概念

3.9传递函数阵的实现问题 1实现问题的基本概念 为了解决这类问题，一个可能的办法是，先用 实验的方法确定系统的传递函数（或传递函数阵）， 然后根据传递函数推导出相应的状态方程和输出方 程。由传递函数阵或相应的脉冲响应阵来建立系统 的状态方程和输出方程的问题，即称为实现问题。 而系统的状态方程和输出方程则称为系统传递函数 阵的一个实现

4 3. 9 传递函数阵的实现问题 1 实现问题的基本概念

3.9传递函数阵的实现问题 2定义及基本特性 对于给定传递函数阵W(S),若有一状态空间表达式∑ =Ax+Bu (125) y=Cx+Du 使之成立 C(sI-A)B+D=W(s) 则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(S)的一个实现。 应该指出，并不是任意一个传递函数阵W(S)都可以找到其实现，通 常它必须满足物理可实现性条件。即

5 3. 9 传递函数阵的实现问题

3.9传递函数阵的实现问题 1)传递函数阵W(s)中的每一个元W(s)(i=1,2,.,m;k=1,2,.,r）的分子分母 多项式的系数均为实常数。 2)W(s)的元W(s)是s的真有理分式函数，即W4(s)的分子多项式的次数低于或 等于分母多烦式的次数。当W4(s)的分子多项式的次数低于分母多项式的次数时，称 W4(s)为严格真有理分式。若W,(s)阵中所有元都为严格真有理分式时，其实现∑具有 (A,B,C)的形式。当W(s)阵中哪怕有一个元W(s)的分子多项式的次数等于分母多 项式的次数时，实现∑就具有（A,B,C,D)的形式，并且有： D=lim W(s) 根据上述物理可实现性条件，对于其元不是严格的真有理分式的传递函数阵，应首 先按式(3.126)算出D阵，使W(s)-D为严格的其有理分式函数的矩阵，即 C(sI-A)B W(s)-D 然后再根据W(s)-D寻求形式为(A,B,C)的实现

6 3. 9 传递函数阵的实现问题

3.9传递函数阵的实现问题 3标准型实现 能控标准形（能观测标准形）实现就是由传递函数阵 或相应的脉冲响应阵所建立的状态表达式，不但完全 能控（能观测），而且为标准形式，则称为能控标准 形（能观测标准形）实现。这两种典型实现，是找到 最小实现的必经之路。 (1)单输入单输出系统的实现 (2)多输入多输出系统 如何选择能控实现/能观实现？看m和的关系

7 3. 9 传递函数阵的实现问题 如何选择能控实现/能观实现？看m和r的关系

极点配置 能控标准型 观测器实现 能观标准型 为保证实现的维数最小 mr时，采用能控标准型实现 m是输出矢量维数 是输入矢量维数 利用来判断

8 极点配置 能控标准型 观测器实现 能观标准型 为保证实现的维数最小 mr 时，采用能控标准型实现 m是输出矢量维数 r是输入矢量维数 利用β来判断

3.9传递函数阵的实现问题 (1)单输入单输出系统的实现 若单输入单输出系统 wg）-Bs+B2++Bs+B ++1S+a0 0 0 0 0 0 0 0 0 A B c=[.] 能控标准型 0 0 0 0 -ao -a-2 1 0 0 0 1 0 ) -a1 A= 0 1 -a2 b= .c=I0 0. 能观标准型 0

9 3. 9 传递函数阵的实现问题 能控标准型 能观标准型

3.9传递函数阵的实现问题 (2)多输 多输入多输出系统的能观标准型 B-2s"-2 .+B5+B (3.127) +.+as+ao 并不是能控标准型简单的转置， Bn-1, .,B1,B。为mxr维常数阵； 对于式（3 这一点和单输入单输出系统不同！ 为该传递函数阵的特征多项式。 能控标准型 其能观标准型实现为： 0 Om Om Om aoIm 0 0 I 0 Im Om Om alm 一 Ac= A0= Om Im 0m1 -a2Im Or 0 0 . aolr -alr -a2lr -an-1Ir Om Om an-1lm 0 Bo Cc=[Bo, 1, 0, Bn-1] 3 Ce=[Om; Om; Om, Be= 0,和I,为rxr阶零矩阵和单位矩阵： B0= 2 T为输人矢量的维数。 0.和I.为m×m阶零矩阵和单位矩阵： 0 这个实现的维数是r维； Bn-1 m为输出矢量的维数

10 3. 9 传递函数阵的实现问题 对于式（ 3. 127 ）形式的传递函数阵的 能控标准型实现为： 其能观标准型实现为： 多输入多输出系统的能观标准型 并不是能控标准型简单的转置， 这一点和单输入单输出系统不同！