上海交通大学：《基本电路理论》第十章 拉普拉斯变换（10.1）拉氏变换的定义和性质

第十章拉普拉斯变换 上海交通大本科学课程 2003年9月

第十章 拉普拉斯变换 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

拉氏变换是研究线性完常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题 变换成复频域中的代数运算,因此,在五十 年代、六十年代,人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别,可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是,拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的,而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题, 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位,但在线性定常网络 中,对它的作用是不能低估的

拉氏变换是研究线性定常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题， 变换成复频域中的代数运算，因此，在五十 年代、六十年代，人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别，可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是，拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的，而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题， 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位，但在线性定常网络 中，对它的作用是不能低估的

拉氏变换的定义和性质 ●定义有时城函数(则F(2f()"t 也可表示成F(s)=Cf(t 拉氏反变换f(t)=C1[F(s)] 其中s=σ+jo是复数,f(称原函数F()称象函数。 ①积分下限为何为0 f(t) f(t)=6(t)+u(t 取积分下限为0-,使积 分中包含了冲击函数

拉氏变换的定义和性质 定义 有时域函数f(t) 则 0 ( ) ( ) st F s f t e dt  −  − 也可表示成F(s)= ℒ[f(t)] 拉氏反变换f(t)= ℒ -1 [F(s)] 其中s=+j 是复数， f(t)称原函数 F(s)称象函数。 ①积分下限为何为0- f(t)=(t)+u(t) 取积分下限为0- ，使积 分中包含了冲击函数。 t f t( ) 1 0

②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的满足绝对可 积)。函数O=e随时间增长的速度比e 随时间衰减得快当t→∞,被积函数的积分式 「ee"h→o,所以函数f()=e没有拉氏变换 但在工程上,即在电路问题中,由于激励总有 起始时间,响应总对应某一时刻,所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应 设 ()=e01x4!t可任意大,但总对应 t1+ 具体时间位置

②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的(满足绝对可 积)。函数 随时间增长的速度比 2 ( ) t f t e = st e − 随时间衰减得快,当t→，被积函数的积分式 2 0 t st e e dt  − −  →  ，所以函数 2 ( ) t f t e = 没有拉氏变换 但在工程上，即在电路问题中，由于激励总有 起始时间，响应总对应某一时刻，所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应。 设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t   + =    + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置

设 f(D)= 0?tt,+1 具体时间位置。 如果在tt1+1 f() N 那么在tt1+1 y2(t) N 则y2(t)=y1( 这说明,只要t<t+1,则任意网络对f的响应 和对f()=e的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的,变换就具 有普遍性

设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t   + =    + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置。 如果在t<t1+1 那么在t<t1+1 则 y2 (t)=y1 (t) 这说明，只要t<t1+1，则任意网络对f1 (t)的响应 和对 2 ( ) t f t e = 的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的，变换就具 有普遍性。 1 f t( ) 1 y t( ) N 2 t e 2 y t( ) N 2 t e 1 0 t l +1 t

●唯一性原函数和象函数是一一对应关系 唯一地 唯一地 f(t)→>F(S),F(s)→>f(t) 现在有 1t>0 f(1)=105t=0 g()={1t=0 0t<0 0t<0 从表达式中可看出,f)与g()是有区别的,数学 上认为是两个函数。但在工程上:f()=u(), CI(t=1/s g(t=u(t, LIg(t]=1/s 在工程上,这是无关紧要的差别

唯一性 原函数和象函数是一一对应关系 f t F s F s f t ( ) ( ), ( ) ( ) → → 唯一地 唯一地 现在有 1 0 ( ) 0.5 0 0 0 t f t t t    = =     1 0 ( ) 1 0 0 0 t g t t t    = =     从表达式中可看出，f(t)与g(t)是有区别的，数学 上认为是两个函数。但在工程上：f(t)=u(t)， ℒ[f(t)]=1/s；g(t)=u(t)，ℒ[g(t)]=1/s 在工程上，这是无关紧要的差别

直线性(线性性) gc1f1(t)+c2f2()=c12[1()]+c22(t) 其中c1、c2是任意常数。 拉氏变换是线性函数,由若干原函数组合的象 函数,等于各原函数的象函数的同样形式的线 性组合。 v(t=Ri(t LIv(t]= C[Ri(t]=RC[i(t) V(S=RI(S) P V(s) S i(t). R 1(s)k +V(s)

直线性（线性性） i t( ) + v t( ) − R ℒ[c1 f1 (t)+c2 f2 (t)]=c1ℒ[f1 (t)]+c2ℒ[f2 (t)] 其中c1、c2是任意常数。 拉氏变换是线性函数，由若干原函数组合的象 函数，等于各原函数的象函数的同样形式的线 性组合。 v(t)=Ri(t) ℒ[v(t)]= ℒ[Ri(t)]=Rℒ[i(t)] V(s)=RI(s) ( ) ( ) V s R I s = I s( ) + V s( ) − R

微分规则若f(→F(s)则c[4f()=sF(s)f(0-) 时域中的求导运算,相当于复频域中乘以s的运 算,并以f(0)计入初始条件。 f(=e u(t) f2(1)=-l(-D)+e“l() fi(t=e -aI 以上三个函数在t>0时是一样的,但在t0点各不 相同,它们的拉氏变换是相同的

微分规则 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 若f(t)→F(s) 则ℒ [ f(t)]=sF(s)-f(0-) d dt 时域中的求导运算，相当于复频域中乘以s的运 算，并以f(0-)计入初始条件。 以上三个函数在t>0时是一样的，但在t=0点各不 相同，它们的拉氏变换是相同的。 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t

Af1()=e“u() Af2(t)=-l(-1)+eu(t) 以上三个函数在t>0时是一样的,但在t=0点各 不相同,它们的拉氏变换相同 C[f4(=C[f2(= s+a 但它们微分的我民变换各不相同 S f,f()= 0f,f2(t) +1ff3() S S+a s+a s+a

以上三个函数在t>0时是一样的，但在t=0点各 不相同，它们的拉氏变换相同 ℒ[f1 (t)]= ℒ[f2 (t)]= ℒ[f3 (t)]= 1 s + 但它们微分的拉氏变换各不相同 1 [ ( )] 0 d s f t dt s  = − + £ 2 [ ( )] 1 d s f t dt s  = + + £ 3 [ ( )] 1 d s f t dt s  = − + £ 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t

Af(t=e u(t) Af2(t)=-l(-1)+eu(t) ▲f3(t) e ￡4f()2=-0af()=-5+124/(O s+a s+a S+a f1( 2(t) f() s(t)-ae d2(t) 26(1)-ae -ae dt dt

1 [ ( )] 0 d s f t dt s  = − + £ 2 [ ( )] 1 d s f t dt s  = + + £ 3 [ ( )] 1 d s f t dt s  = − + £ 1 ( ) ( ) df t t t e dt    − = − 2 ( ) 2 ( ) df t t t e dt    − = − 3 ( ) df t t e dt   − = − 1( ) ( ) t f t e u t − = t e − 1 0 2 ( ) ( ) ( ) t f t u t e u t − = − − + t e − 1 −1 t 0 3 ( ) t f t e− = t e − 01 t 1 f t '( ) 1 0 t 2 f t '( ) 0 t 2 3 f t '( ) 0 t