上海交通大学：《土木工程应用软件》课程教学资源（课程讲义）第4课 结构计算数值方法概述、结构整体分析的方程及其形式、平衡法推导梁杆单元的刚度矩阵

上游充通大 1896 1920 1987 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 《土木工程应用软件》 第4次课 SHAN 王春江 上海交通大学土木工程系 wangchj@sjtu.edu.cn HO TONG

1896 1920 1987 2006 《土木工程应用软件》 第 4 次课 《土木工程应用软件》 第 4 次课 王春江 上海交通大学土木工程系 wangchj@sjtu.edu.cn

上降充通大粤 1896 1920 1887 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 主要内容 结构计算数值方法概述 国 结构整体分析的方程及其形式 平衡法推导梁杆单元的刚度矩阵 虚功原理推导梁杆单元的刚度矩阵 总刚特征和结构基本元素的计算（位移/应力/内 力/反力) 1日gG ©流程框图与计算结果的输出与显示 O TONG

1896 1920 1987 2006 结构计算数值方法概述 结构整体分析的方程及其形式 平衡法推导梁杆单元的刚度矩阵 虚功原理推导梁杆单元的刚度矩阵 总刚特征和结构基本元素的计算（位移/应力/内 力/反力） 流程框图与计算结果的输出与显示 主要内容

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1896 1920 1987 2006 结构计算数值方法概述

上游充通大 1896 1920 1987 2008 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 力学方程求解方法的演变 员是 差分法 手算 配点法 无网格法 解析解 离散解 半解析解 (数值解) 有限元法 1日后 ERS 边界元法 电算 ·。。·

1896 1920 1987 2006 力学方程求解方法的演变 解析解 半解析解 离散解 （数值解） 差分法 配点法 无网格法 有限元法 边界元法 … … 手算电算

上游充通大 1896 1920 1887 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 基本数值计算方法（了解基本概念）： ●差分法(FDM) ●用差商代替微商，把微分方程转换为代数方程(《弹 性力学》中的基本内容) ●无网格方法 (Mesh-less method) 采用核函数，把微分方程通过积分变换，转成等价的 积分方程；方程在点上强制满足。 ● 有限元方法(FEM) ●采用形函数，把物理量在单元层级连续化，通过等价 变换（虚功原理等)把微分方程转换为积分方程，方 程在单元局部强制满足

1896 1920 1987 2006 基本数值计算方法(了解基本概念)：
差分法（FDM）
用差商代替微商，把微分方程转换为代数方程（《弹 性力学》中的基本内容）
无网格方法（Mesh-less method）
采用核函数，把微分方程通过积分变换，转成等价的 积分方程；方程在点上强制满足。
有限元方法（FEM）
采用形函数，把物理量在单元层级连续化，通过等价 变换（虚功原理等）把微分方程转换为积分方程，方 程在单元局部强制满足

上游充通大 1896 1920 1987 2008 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 力学课程与结构数值计算的关系 理论力学 宏观力学的基 本方法和体系 材料力学 受力状态分析 (本构关系) 土木工程应用 软件 弹性连续域 弹性力学 力学方程的 建立与求解 离散解 (单元分析) 数值解) ( 有限元法 结构力学 杆件结构体系 求解方法 ONG UNI

1896 1920 1987 2006 力学课程与结构数值计算的关系 材料力学 受力状态分析 (本构关系) 离散解 （数值解） 有限元法 土木工程应用 软件 弹性力学 弹性连续域 力学方程的 建立与求解 （单元分析） 结构力学 杆件结构体系 求解方法 理论力学 宏观力学的基 本方法和体系

上游充通大 1896 1920 1887 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 结构基本方程的过渡关系： ●结构三大基本方程（平衡、协调、本构） ●对于构件亦是如此（只是基本变量有区别，有何区别？) ●列微分方程与积分方程的情况有何不同？ ●方程的表达形式（微分和积分） 结构体系的封闭形式的基本方程有唯一解（什么样的结构才有唯 一的解？) ●无论微分还是积分方程，最后，都转化为代数方程； ●代数方程的数值计算方法 ●直接法（高斯消去、LDLT、LU等） ●迭代法（高斯-赛德尔迭代法、共轭梯度法等）

1896 1920 1987 2006 结构基本方程的过渡关系：
结构三大基本方程（平衡、协调、本构）
对于构件亦是如此（只是基本变量有区别，有何区别？）
列微分方程与积分方程的情况有何不同？
方程的表达形式（微分和积分）
结构体系的封闭形式的基本方程有唯一解（什么样的结构才有唯 一的解？）
无论微分还是积分方程，最后，都转化为代数方程；
代数方程的数值计算方法
直接法（高斯消去、LDLT、LU等）
迭代法（高斯-赛德尔迭代法、共轭梯度法等）

上降充通大粤 1896 1920 1887 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 基本变量的选择 (位移法/力法；能量原理/余能原理；虚功原理/余 虚功原理) 结构力学中的矩阵位移法 有限元法 般意义上的数值计算方法

1896 1920 1987 2006 基本变量的选择 （位移法/力法；能量原理/余能原理；虚功原理/余 虚功原理） 结构力学中的矩阵位移法 有限元法 一般意义上的数值计算方法

上充通大￥ 1896 1920 1987 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 结构数值计算方法要解决的问题： ● 给出结构体系在一定荷载和边界条件下的内力、 变形和反力： ● 内力计算与结构优化： ●不同荷载和边界条件的耦合问题（施工模拟）。 问题的分类： ●静力问题和动力问题； ●线性问题和非线性问题； ● 确定性分析与不确定性（随机）分析问题；

1896 1920 1987 2006 结构数值计算方法要解决的问题：
给出结构体系在一定荷载和边界条件下的内力、 变形和反力；
内力计算与结构优化；
不同荷载和边界条件的耦合问题(施工模拟)。
…… 问题的分类：
静力问题和动力问题；
线性问题和非线性问题；
确定性分析与不确定性（随机）分析问题；

上降充通大粤 1896 1920 1887 2006 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 漏 M 思考题：高斯消去方法的基本过程？影响其计算 精度和效率的关键步骤是哪些？（课后查资料后 ,下堂课交流 ) JIAO TONG UNIVE

1896 1920 1987 2006 思考题：高斯消去方法的基本过程？影响其计算 精度和效率的关键步骤是哪些？（课后查资料后 ，下堂课交流）