《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第一章 概率论的基本概念（1.6）独立性

概率论与醒统计 第六节独立性 、事件的相互独立性 、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结

一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结 第六节 独立性

概率论与醒统计 事件的相互独立性 1引例 盒中有5个球(3绿2红,每次取出一个,有放回 地取两次记 A=第一次抽取,取到绿球 B=第二次抽取,取到绿球, 则有 P(BA)=P(B), 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 P(BA)=P(B)+> P(AB)=P(A)P(B)

一 、事件的相互独立性 , , , , . 5 (3 2 ), , 第二次抽取 取到绿球 第一次抽取 取到绿球 地取两次 记 盒中有 个球 绿 红 每次取出一个 有放回   B A 则有 P(B A)  P(B), 它表示 A的发生并不影响 B 发生的可能性大小. P(B A)  P(B)  P(AB)  P(A)P(B) 1.引例

概率论与醒统计 2定义 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B相互独立,简称A,B独立 说明 事件A与事件B相互独立,是指事件A的 发生与事件B发生的概率无关

, , , . ( ) ( ) ( ) , , 则称事件 相互独立 简称 独立 设 是两事件 如果满足等式 A B A B P AB P A P B A B  事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义

概率论与醒统计 请同学们思考 两事件相互独立与两事件互斥的关系 两事件相互独立P(A4B)=P(4)P(B)二者之间没 两事件互斥 AB=0 有必然联系 例如 B 若P(A)=,P(B) 2 AB 则P(AB)=P(4)P(B) 由此可见两事件相互独立,但两事件不互斥

两事件相互独立 P(AB)  P(A)P(B) 两事件互斥 AB   A B , 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A)  P B  AB 则 P(AB)  P(A)P(B). 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 二者之间没 有必然联系

概率论与醒统计 若P(A)=,P(B)= 2 2 则P(AB)=0, B P(A)P(B)=, 故P(AB)≠P(AP(B) 由此可见两事件互斥但不独立

A B 2 1 , ( ) 2 1 若 P(A)  P B  故 P(AB)  P(A)P(B). 由此可见两事件互斥但不独立. 则 P(AB)  0, , 4 1 P(A)P(B) 

概率论与醒统计 3三事件两两相互独立的概念 定义设A,BC是三个事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), LP(AC)=P(A)P(C), 则称事件A,B,C两两相互独立

3.三事件两两相互独立的概念 , , . ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , , , 则称事件 两两相互独立 定义 设 是三个事件 如果满足等式 A B C P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B A B C        

概率论与醒统计 4三事件相互独立的概念 定义设A,B,C是三个事件,如果满足等式 P(AB=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立

注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 4.三事件相互独立的概念 , , . ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , , , 则称事件 相互独立 定义 设 是三个事件 如果满足等式 A B C P ABC P A P B P C P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B A B C        

概率论与醒统计 推广设A1,A1,…,4是n个事件,如果对于任意 k(1<k≤m),任意1≤i<i2<…<i≤n,具有等式 P(A1,A,…A,)=P(4,)P(4,)…P(A,), 则称A,A2…,A,为相互独立的事件 n个事件相互独立 n个事件两两相互独立

( ) ( ) ( ) ( ), 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai  P Ai P Ai P Ai , , , . 则称 A1 A2  A n 为相互独立的事件 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 任意 具有等式 设 是 个事件 如果对于任意 (1 ), 1 , , , , , 1 2 1 2 k k n i i i n A A A n k n        推广 

概率论与醒统计 二、几个重要定理 定理一设A,B是两事件,且P(A)>0若A,B相 互独立,则P(BA)=P(B).反之亦然 P(AB) 证明P(BA)=P(A) P(AP(B) P(B) P(4) 台P(BA)=P(B

证明 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A  ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A P A P B    P(B A)  P(B). , ( ) ( ). . , , ( ) 0. , 互独立 则 反之亦然 设 是两事件 且 若 相 P B A P B A B P A A B   二、几个重要定理 定理一

概率论与醒统计 定理二若A,B相互独立,则下列各对事件, A与B,A与B,A与B也相互独立 证明先证A与B独立 因为A=AB∪AB且(AB)(AB)=, 所以P(A)=P(AB)+P(AB, 即PAB)=P(4-P(AB

证明 先证 A 与 B 独立. 因为 A  AB  AB 且 (AB)(AB)  , 所以 P(A)  P(AB)  P(AB), 即 P(AB)  P(A) P(AB). , , . , , , 与 与 与 也相互独立 若 相互独立 则下列各对事件 A B A B A B 定理二 A B