《高等数学》课程教学资源：对坐标的曲线积分

第二节对坐标的曲线积分 四一、问题的提出 对坐标的曲线积分的概念 四三、对坐标的曲线积分的计算 巴四、小结思考题

生一、问题的提出T1 B M 实例:变力沿曲线所作的功 △ L:A→B, 4 F(x,y)=P(x, y)i+o(x,y)jo x 常力所作的功W=F·AB 王分割A=M,Mx,),Mn(x1,M,=B 王M,M=(△)+(Ay) 上页

o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i x i 实例: 变力沿曲线所作的功 y L: A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  W = F  AB

王 王取F(5,m)=P5,m)+Q,m) F(5i,) △H1≈F(5,n)M1M, 即△W≈P(,m)x2+Q(5,m),° 求和W=∑△W 近似值 ≈∑P(5,m)Ax1+Q(5,m),4yl 取极限W=m∑P(5,m)Ax+Q(5,m),4 精确值 上页

求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 =    +   ni i i i i i i P   x Q   y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → =   +   ni i i i i i i W P   x Q   y  近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y = =  ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y

生三、对坐标的曲线积分的概念 1定义设L为xoy面内从点4到点B的一条有 王向光滑曲线弧函数 P(x,y), Q(x,y)在L 上有界用L上的点M(x,),M1(x2) ,Mn1(xn1,yn1)把L分成n个有向小弧段 工工工 M=1M2(i=1,2,…,n;M0=A,Mn=B) 设△x;=x2-x11,△y1=y2-y21,点(,n;)为 cM1M1上任意取定的点如果当各小弧段 长度的最大值→0时, 上页

二、对坐标的曲线积分的概念 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有  →  = −  = −   = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B   1.定义

庄∑P5,m)x的极限存在,则称此板限为函 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 「P(x,k=m∑P(5,nx 类似地定义Q(xy)=lim∑Q(5,m)Ay i=1 c其中P(x,y)Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段 上页

( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x =      = → =      积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y  = →    其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段

2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 P(x,y)+」,Q(x,y) P(x)+xy)=F而 其中F=P+Q,d=d+d 上页

2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式    = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj.      其中 = + = + .  =  L F ds 

4.推广 空间有向曲线弧rJPd+g+Rt P(xn,l=m∑P(5,n)△x i=1 「(x,,)=m∑Q(5,m,5A → i=1 R(x,y,z)=lm∑R(,m,)△x 入->0 i=1 上页

4.推广 空间有向曲线弧  ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x  =  →     .  Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q    y  =  → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R    z  =  →

5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 生+=P+Qb+P+Q小 (2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 王∫,P(x,)+(x,=JP(x,y)+(x,y)h 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 上页

5.性质 . (1) , 1 2 1 2    + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.  + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

三、对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧上有定义且连 续,L的参数方程为+=g), 当参数单调地由a变 ∪y=v(t), 生到耐点M(x从的起点沿运动到终点B q(t),y(1)在以a及端点的闭区间上具有阶连 王续导数且0+y°(00则曲线积分 』P(x+x,)春在 上页

三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连  +  +      = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L           定理

且』P(x,d+(x,y)d ={Plo(.(o)lp()+gp(y(o)()t 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b 牛则P+h=Pxy(+x((k (2)L:x=x(y)点为e,终点为d JI, Pdx+ody=(PIx(), ylx'(y)+Q(x(y), yl)dy

P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , )         =  +  +  且 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = +  (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + =  +