《数学分析》课程教学资源（学习资料）关于多元函数泰勒展开的几点说明

关于多元函数泰勒展开的几点说明 1.多元函数泰勒展开具有唯一性：假设f(x,y)具有n+1阶连续偏导数，若用某种方法得到 展开式 fx,月=∑4，x-'0-y+0p) 其中p=VG-)广+0y-%) 则必有 品奇的a动 注：多元函数泰勒展开的唯一性说明了在使用某种方法得到二元函数∫(x,y)的具有(1) 形式的多项式逼近时，这种展开必为泰勒展开 Prove:已知f(x,y)具有n+1阶连续偏导数，故f(x,y)有泰勒展开 (2) (1)式减(2)式便得到0的泰勒展开 0-三，-0-y+op (3) C 其种民=4-af,w》 因此，为了说明唯一性，只需要说明每个B。=0(+j=0,L,m) 证明(3)式和证明下面(4)式成立是一样的 0-三,+op (4) 可以推出B,=0,其中p=√+y 首先，在(4)式中，令p→0，便得到Bo=0,然后，令y=心则(4)式变为

关于多元函数泰勒展开的几点说明 1.多元函数泰勒展开具有唯一性：假设 f (x, y) 具有 n 1阶连续偏导数，若用某种方法得到 展开式       n i j i j n ij f x y A x x y y o 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) （1） 其中 2 0 2 0   (x  x )  ( y  y ) 则必有 ( , ) ! ! 1 ( , ) ( )! ( , ) 0 0 0 0 f x y i j x y f x y i j x y C A i j i j i j x y i j i i j ij             注：多元函数泰勒展开的唯一性说明了在使用某种方法得到二元函数 f (x, y) 的具有（1） 形式的多项式逼近时，这种展开必为泰勒展开 Prove: 已知 f (x, y) 具有 n 1阶连续偏导数，故 f (x, y) 有泰勒展开              n i j i j n i j i j i i j f x y x x y y o i j x y C f x y 0 0 0 0 0 ( ( , )) ( ) ( ) ( ) ( )! ( , )  （2） （1）式减（2）式便得到0 的泰勒展开       n i j i j n ij B x x y y o 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) （3） 其中 ( ( , )) ( )! 0 0 f x y i j x y C B A i j i j i i j ij ij         因此，为了说明唯一性，只需要说明每个  0 Bij (i  j  0,1,., n) 证明（3）式和证明下面（4）式成立是一样的 即从     n i j i j n ij B x y o 0 0 ( ) （4） 可以推出  0 Bij ，其中 2 2   x  y 首先，在（4）式中，令   0，便得到 0 B00  ，然后，令 y  x 则（4）式变为

aBx"+o(x)=0 设x≠0，用x除此式，令x→0，得 Bio+aBo =0 由a的任意性知B。=Bo:=0 此时(5)式化为 aar"to-0 同样地，将上式除以x2,令x→0，得 B2o+aB+a2Bo =0 由a的任意性知B。=B,=B=0 这样的过程重复做下去便可得到所有的 Bg=0(6+j=0,1,) ◇ 2.求f(x,y)=ln(1+x2+y2)在(0,0)处的泰勒展开： 首先由于我们希望得到的是l(1+x2+y2)在x=0,y=0处泰勒展开，我们先求出 1n(1+x2+y2)在x2+y2=0(将x2+y2看作一个整体)这种方式下的展开（因为 x=0,y=0可以推出x2+y2=0,所以在x2+y2=0展开)，再由泰勒公式的唯一性就可 以说明这种形式的展开确实是泰勒展开 n-2yo 其中p=Vx2+y

( ) 0 1       n i j i j n ij j  B x o x （5） 设 x  0 ，用 x 除此式，令 x  0 ，得 0 B10 B01  由 的任意性知 0 B10  B01  此时（5）式化为 ( ) 0 2       n i j i j n ij j  B x o x 同样地，将上式除以 2 x ，令 x  0 ，得 0 02 2 B20 B11  B  由 的任意性知 0 B20  B11  B02  这样的过程重复做下去便可得到所有的 0 Bij (i  j  0,1,., n)  2. 求 ( , ) ln(1 ) 2 2 f x y   x  y 在 (0,0) 处的泰勒展开： 首先由于我们希望得到的是 ln(1 ) 2 2  x  y 在 x  0, y  0 处泰勒展开，我们先求出 ln(1 ) 2 2  x  y 在 0 2 2 x  y  （将 2 2 x  y 看作一个整体）这种方式下的展开（因为 x  0, y  0 可以推出 0 2 2 x  y  ，所以在 0 2 2 x  y  展开），再由泰勒公式的唯一性就可 以说明这种形式的展开确实是泰勒展开 ( ) ( ) ( 1) ln(1 ) 1 2 2 1 2 2 n n i i i x y o i x y          其中 2 2   x  y

3.求f(x,y)=工在(1,1)处的泰勒展开： 为了利用一元泰勒展开麦克劳林公式，我们有 -W交e0-ya-m (注意：这里的1+(x-1)已经进行了泰勒展开，只不过这里只有两项 化简出来得 fx,y)=1+(x-)-y-1)-(x-1y-I)+y-1)2++(-1)-(x-1y-1)-+(-)y-1)”+o(p") 其中p=Vx-1)2+(y-)

3. 求 y x f (x, y)  在(1,1)处的泰勒展开： 为了利用一元泰勒展开麦克劳林公式，我们有 [1 ( 1)][ ( 1) ( 1) (( 1) )] 1 ( 1) 1 ( 1) ( , ) 0               n i i i n x y o y y x y x f x y （注意：这里的1 (x 1) 已经进行了泰勒展开，只不过这里只有两项） 化简出来得 ( , ) 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) . ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( ) 2 n 1 n 1 n n n f x y   x   y   x  y   y     x  y    y   o    其中 2 2   (x 1)  ( y 1)