《数学分析》课程教学资源（学习资料）级数复习

级数复习 一、数项级数 要求掌握： ()掌握正项数项级数收敛的判定方法 (2)一般项级数收敛的判别法 1(70分)讨论级数宫-+閂]o>0的收数性和地对收敛性 2(1012分)国设正实数列a满足名=1+片+，n=123,其 中宫，纶对收敛证明套a.发故 回>a时论级数会心++-山的激数性 3.(16)(12分)己知级数 2 子++2+a+乎++两+. ()讨论级数的收敛域并求出级数的和函数： (②)讨论级数在区间0，打和，】上的一致收敛性 40的分)判后无穷经数交”产的数散性 5.(14(4分)设级数三an收敛，则下列级数中必收敛的是() 套2回含4o2e1）回含- 6.(14)(4分)下列命题中，()是正确的. (三a发放则职a0 ()三o发散且有al≤6则会6，发散 (C)设an>0,满足n±1>1(=1,2，)，则2an收敛

· 1 · ?ÍES ò!Íë?Í á¶›ºµ (1) ›ºëÍë?ͬÒ½ê{ (2) òÑë?ͬÒO{ . 1. (17)(10©) ?ÿ?Í P∞ n=2 ln  1 + (−1)n np  (p > 0)¬Ò5⁄˝È¬Ò5. 2. (17)(12©) (1) ¢Í{an}˜v an an+1 = 1 + 1 n + bn, n = 1, 2, 3, · · · ,Ÿ • P∞ n=1 bn ˝È¬Ò,y²µ P∞ n=1 anu—. (2) p > 0,?ÿ?Í P∞ n=1 p(p + 1)· · ·(p + n − 1) n!np Ò—5. 3. (16)(12©) Æ?Í x 2 + x 2 1 + x 2 + x 2 (1 + x 2) 2 + x 2 (1 + x 2) 3 + · · · (1) ?ÿ?ͬÒç,ø¶—?Í⁄ºÍ¶ (2) ?ÿ?Í3´m[0, 1 2 ]⁄[ 1 2 , 1]˛òó¬Ò5. 4. (15)(4©) ‰Ã°?Í P∞ n=0 Z (n+1)π nπ sin x √ x dxÒ—5. 5. (14)(4©) ?Í P∞ n=1 an¬Ò,Ke?Í•7¬Ò¥( ). (A) P∞ n=1 (−1)nan √ n (B) P∞ n=1 a 2 n (C) P∞ n=1 (a2n−1−a2n) (D) P∞ n=1 (a 2 n+1−a 2 n ). 6. (14)(4©)e·K•,( )¥(. (A) P∞ n=1 anu—,K limn→∞ an 6= 0. (B) P∞ n=1 anu—,Ök|an| ≤ bn,K P∞ n=1 bnu— (C) an > 0,˜v an+1 an > 1 (n = 1, 2, · · ·),K P∞ n=1 an¬Ò

2 D)设幂级数之an,立br”的收敛半径为，2，则立(a,+bm)r的收敛 半径R=min(R,R2}. n= 7.(14分)（山）已知三n绝对收敛证明立2收敛 (②已知三an发散，证明三nan发散. &(310分)设正项级数三a.的前n项和为S证明()级数三紧与言a同敛 散。（②）级数三爱收敛。 9.(134分)下列数项级数立a收敛的是() wa-()月 画-广￥女 9== (D)am=2+(-1) 10.(13)(4分)下列函数项级数三山.()在区间(0，+∞)上一致收敛的是() (A)n(回=cosn匹 n (®国=走 (C)un(z)=ne-n 11.(12(4分)1.下列各选项中，正确的是(). (A)级数∑an收敛的充要条件是它的一般项an→0(n→+∞)， (B)级数工am收敛的充要条件是它的部分和Sn当n→+o时有有限极限 (C级数三an收敛的充要条件是它的一般项an当n→+心时有有限极限。 D)级数三收敛的充要条件是它笔对收敛 12.(12)4分)下列1个选项中，不正确的是( (A)若级数工a绝对收敛，则该级数一定是收敛的. (B)若级数立a()在集E中一致收敛，则该级数在集E中一定是收敛的

· 2 · (D) ò?Í P∞ n=1 anx n, P∞ n=1 bnx n¬ÒåªèR1, R2,K P∞ n=1 (an + bn)x n¬Ò åªR = min{R1, R2}. 7. (14)(8©) (1) Æ P∞ n=0 an˝È¬Ò,y² P∞ n=0 a 2 n¬Ò. (2) Æ P∞ n=0 anu—,y² P∞ n=0 nanu—. 8. (13)(10©) ë?Í P∞ n=1 ancnë⁄èSn,y²:(1) ?Í P∞ n=1 an Sn Ü P∞ n=1 an”Ò —. (2) ?Í P∞ n=1 an S2 n ¬Ò" 9. (13)(4©) eÍë?Í P∞ n=1 an¬Ò¥( ) (A) an =  1 n2 + 1 1 n ; (B) an = Z 1 n 0 √ x 1 + x 2 dx (C) an = (−1)n−1 e nn! nn (D) an = n [2 + (−1)n] n 10. (13)(4©) eºÍë?Í P∞ n=1 un(x)3´m(0, +∞)˛òó¬Ò¥( ) (A) un(x) = cos nx n (B) un(x) = 1 nx (C) un(x) = ne−nx (D) un(x) =  x 1 + 2x n 11. (12)(4©) 1. eà¿ë•,(¥( ). (A) ?Í P∞ n=1 an¬Òøá^á¥ßòÑëan → 0 (n → +∞). (B) ?Í P∞ n=1 an¬Òøá^á¥ß‹©⁄Snn → +∞ûkkÅ4Å. (C) ?Í P∞ n=1 an¬Òøá^á¥ßòÑëann → +∞ûkkÅ4Å. (D) ?Í P∞ n=1 an¬Òøá^á¥ß˝È¬Ò. 12. (12)(4©) e4á¿ë•,ÿ(¥( ). (A) e?Í P∞ n=1 an˝È¬Ò,KT?Íò½¥¬Ò. (B) e?Í P∞ n=1 an(x)38E•òó¬Ò,KT?Í38E•ò½¥¬Ò

3 (©若级数工a()在集E中绝对收敛，则该级数在集E中一定是一致收敛的 (D)若幂级数∑anx的收敛区间是(-R,),则该级数在(-R,R)中的任一闭区 间上是一致收敛的. 1以28分E明无穷级数空严”卸>1时轮对收敛当00,级数三品的收敛域为 19.(m8分)设正项级数三，的通项满足：对所有正数m有221-片试证 明级数三a发散 二、幂级数 要求掌握：

· 3 · (C) e?Í P∞ n=1 an(x)38E•˝È¬Ò,KT?Í38E•ò½¥òó¬Ò. (D) eò?Í P∞ n=1 anx n¬Ò´m¥(−R, R),KT?Í3(−R, R)•?ò4´ m˛¥òó¬Ò. 13. (12)(8©) y²Ã°?Í P∞ n=1 cos n np p > 1û˝È¬Ò;0 0,?Í P∞ n=1 1 x ln n¬Òçè . 19. (11)(8©) ë?Í P∞ n=1 anœë˜v:ȧkÍn,k an+1 an ≥ 1 − 1 n ,£y ²:?Í P∞ n=1 anu—. !ò?Í á¶›ºµ

-4 ()掌握A定理，握幂级数的收敛半径的求法an-,与a,收敛 域之间的关系 (②)掌握幂级数的性质，会用性质求幂级数的和函数，并利用幂级数的和函数求 一些数项级数的和。 ()熟记常用简单函数的幂级数展开式，并掌握函数的幂级数展开方法， 上(1710分]将y=2-江十6展成：-1的幂级数并指出收敛城 1 2.(16)(16分)判新下列级数的收敛区间 玄() 1 3(158分)将函数回=户-王-2展成：的幕级数并指出其收敛域 4.50分)将函数国=mcm千展成：的琴级数并求m0,/o的值 的6分求级数交牛微领区间与和通数S阳 6(54分列)证明：厂g=∑n 7.(14(4分)设幂级数工an(仁-1)严在x-4处条件收敛，则幂级数三mane+ 2”在x=0处，( (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性要看具体的(an】 8.(14)(8分)将函数fa)=m(x2+3缸+2)展成x的幂级数并指出收敛半径. 90四8分)表强数空志的版领减与和函S)并抹玄严的和 10.(008分)设g-立a,户，0似<川=f2,证明对每个m有 g0={0 m=2k-1,k=1,2,. 2*(2k-1)川f(0,n=2k,k=0,1,2

· 4 · (1) ›ºAbel½n,›ºò?ͬÒ媶{, P∞ n=1 an(x − x0) n,Ü P∞ n=1 anx n¬Ò çÉm'X. (2) ›ºò?Í5üߨ^5ü¶ò?Í⁄ºÍßø|^ò?Í⁄ºÍ¶ ò Íë?Í⁄. (3) ŸP~^{¸ºÍò?Í–m™,ø›ººÍò?Í–mê{. . 1. (17)(10©) Úy = 1 x 2 − 5x + 6 –§x − 1ò?Í,øç—¬Òç. 2. (16)(16©) ‰e?ͬҴm (1) X∞ n=1 n n + 1  x 2x + 1n ; (2) X∞ n=1 x n 2 2 n . 3. (15)(8©) ÚºÍf(x) = 1 x 2 − x − 2 –§xò?Í,øç—Ÿ¬Òç. 4. (15)(10©) ÚºÍf(x) = arctan 1 − x 1 + x –§xò?Í,ø¶f (7)(0), f(8)(0)ä. 5. (15)(6©) ¶ò?Í P∞ n=0 4n 2 + 4n + 3 2n + 1 ¬Ò´mÜ⁄ºÍS(x). 6. (15)(4©) y²µ Z 1 0 x −xdx = X∞ n=1 n −n . 7. (14)(4©) ò?Í P∞ n=1 an(x − 1)n3x = 4?^á¬Ò,Kò?Í P∞ n=1 nan(x + 2)n3x = 0?,( ). (A) ˝È¬Ò (B) ^á¬Ò (C) u— (D) Ò—5áw‰N{an}. 8. (14)(8©) ÚºÍf(x) = ln(x 2 + 3x + 2)–§xò?Í,øç—¬Òåª. 9. (14)(8©) ¶ò?Í P∞ n=0 n + 1 n!2n x n¬ÒçÜ⁄ºÍS(x),ø¶ P∞ n=0 (n + 1)2n n! ⁄. 10. (14)(8©) f(x) = P∞ n=0 anx n, (|x| < R), g(x) = f(x 2 ),y²:Èzánk g (n) (0) = ( 0, n = 2k − 1, k = 1, 2, · · · 2 k (2k − 1)!!f (k) (0), n = 2k, k = 0, 1, 2, · · ·

5 Ⅱa6分求数项经数玄仁的 12.(13)(8分)求函数fa)= [学0在0限开为级数。 1 并求出收敛半径和收敛域 x=0 13.(13)(8分)设级数∑anA,(-0,+o)的系数满足：a0=0,I(m+1)an+1+ anr=,求级数三anr的和函数 144分)设级数三a,仁-在=3条件收敛则在：=3诞 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性无法确定 1 15.(128分例)求函数=产-2展成x的幂级数，并且求出f(0的值。 166分])求器级最宫”去的收敏区同与和函数S 17.((4分)设幂级数三anr严的收敛半径为e,则幂级数三nac+m严的收敛区 间为 18.(11)(8分)将函数f(x)=1n(x+√个+x)在x=0处展开为幂级数，并求出其收 敛半径 设分)求数项级故套二（仁司）广一的收敛统并粗在其收效装内 求和函数

· 5 · 11. (13)(8©)¶Íë?Í P∞ n=1 (−1)n−1 n(2n − 1)⁄. 12. (13)(8©) ¶ºÍf(x) =    1 x Z x 0 ( sin t t ) 2 dt, x 6= 0 1, x = 0 3x = 0?–mèò?Íß ø¶—¬Òåª⁄¬Òç. 13. (13)(8©)?Í P∞ n=0 anx n,(−∞, +∞)X͘vµa0 = 0, P∞ n=0 [(n + 1)an+1 + an]x n = e x ,¶?Í P∞ n=0 anx n⁄ºÍ. 14. (13)(4©) ?Í P∞ n=1 an(x − 1)n3x = 3?^á¬Ò,K P∞ n=1 an n + 1 x n3x = 3?( ) (A) ^á¬Ò (B) ˝È¬Ò (C) u— (D) ¬Ò5Ã{(½ 15. (12)(8©) ¶ºÍf(x) = 1 x 2 − x − 2 –§xò?Í,øÖ¶—f (5)(0)ä. 16. (12)(8©) ¶ò?Í P∞ n=1 3 n + 5n n x n¬Ò´mÜ⁄ºÍS(x). 17. (11)(4©) ò?Í P∞ n=1 anx n¬Òåªèe,Kò?Í P∞ n=1 nan(x + π) n¬Ò´ mè . 18. (11)(8©) ÚºÍf(x) = ln(x + √ 1 + x 2)3x = 0?–mèò?Íßø¶—Ÿ¬ Òåª" 19. (11)(8©) ¶ºÍë?Í P∞ n=1 1 2n − 1  x − 1 x + 12n−1 ¬ÒçßøÖ3Ÿ¬ÒçS ¶⁄ºÍ