华东师范大学：《数值分析》课程教学资源（课件讲义）第一讲 引论与预备知识——线性代数基础

数值分析 第一讲预备知识 线性代数基础 目录 1.1数值分析引论 1.2线性代数基础 1.3数值计算中的误差 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/NA 潘建瑜@MATH.ECNU

数值分析 第一讲 预备知识 线性代数基础 1.1 数值分析引论 1.2 线性代数基础 1.3 数值计算中的误差 目录 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA 潘建瑜 @MATH.ECNU

1-21 线性代数基础 1.2线性代数基础 1.2.1 线性空间基本概念 1.2.2 矩阵特征值与谱半径 1.2.3 对称正定矩阵 1.2.4向量范数与矩阵范数 1.2.5 内积与内积空间 1.2.6 矩阵标准型 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA

1-2 线性代数基础 1.2 线性代数基础 1.2.1 线性空间基本概念 1.2.2 矩阵特征值与谱半径 1.2.3 对称正定矩阵 1.2.4 向量范数与矩阵范数 1.2.5 内积与内积空间 1.2.6 矩阵标准型 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/NA

1-2-1 线性空间基本概念 数域，如：Q,R,C )线性空间，如：Rn,Cn,Rmxn,Cmxn,Hn,C[a,b,CP[a, 。线性相关与线性无关，线性组合，向量组的秩 。线性空间的基，维数 ①线性子空间（简称子空间），零空间（核）Ker(A) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 3/50

1-2-1 线性空间基本概念  数域, 如: Q, R, C  线性空间, 如: R n , C n , R m×n , C m×n , Hn, C[a, b], C p [a, b]  线性相关与线性无关, 线性组合, 向量组的秩  线性空间的基, 维数  线性子空间 (简称子空间), 零空间 (核) Ker(A) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/50

张成的线性空间 例设S是数域F上的一个线性空间，x1,x2,,xk∈S,记 span{c1,E2,,xk}≌{a1x1+Q2x2+…+akxk:a1,a2,,ak∈F}, 即由x1,x2,,Ek的所有线性组合构成的集合，则Span{1,x2,,xk}是S的一个线性 子空间，称为由x1,x2,xk张成的线性空间. 多spa(A)→由A的列向量所张成的线性空间，即A的像空间/值域/列空间 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 4/50

张成的线性空间 例 设 S 是数域 F 上的一个线性空间, x1, x2, . . . , xk ∈ S, 记 span{x1, x2, . . . , xk} ≜  α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk : α1, α2, . . . , αk ∈ F , 即由 x1, x2, . . . , xk 的所有线性组合构成的集合, 则 span{x1, x2, . . . , xk} 是 S 的一个线性 子空间, 称为由 x1, x2, . . . , xk 张成的线性空间. span(A) → 由 A 的列向量所张成的线性空间, 即 A 的像空间/值域/列空间 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/50

1-2-2 矩阵特征值与谱半径 定义设A∈Rnxn(或Cnxn),若存在入∈C和非零向量x,y∈C",使得 Ax=入x, y*A=λy*, 则入是A的特征值，x称为A对应于入的（右）特征向量，y称为A对应于入的左特征 向量，并称()，x)为A的一个特征对(eigenpair) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 5/50

1-2-2 矩阵特征值与谱半径 定义 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 若存在 λ ∈ C 和非零向量 x, y ∈ C n , 使得 Ax = λx, y∗A = λy∗ , 则 λ 是 A 的特征值, x 称为 A 对应于 λ 的 (右) 特征向量, y 称为 A 对应于 λ 的左特征 向量, 并称 (λ, x) 为 A 的一个特征对 (eigenpair ). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/50

关于特征值的儿点说明 ⊙只有当A是方阵时，才具有特征值与特征向量； ⊙实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的： On阶矩阵总是存在n个特征值（其中可能有相等的），通常记为入1,2，·，入 ⊙特征值也可以通过特征多项式的零点来定义； )特征值有代数重数和几何重数，几何重数不超过代数重数： ⊙相似变换不改变矩阵的特征值，合同变换不改变矩阵的惯性指数 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/50

关于特征值的几点说明  只有当 A 是方阵时, 才具有特征值与特征向量;  实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的;  n 阶矩阵总是存在 n 个特征值 (其中可能有相等的), 通常记为 λ1, λ2, . . . , λn;  特征值也可以通过特征多项式的零点来定义;  特征值有代数重数和几何重数, 几何重数不超过代数重数;  相似变换不改变矩阵的特征值, 合同变换不改变矩阵的惯性指数. 思考：设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A∗ 和 A 的特征值和特征向量是什么关系? (2) A−1 和 A, 它们的特征值和特征向量是什么关系? (3) 设 p(t) 是多项式, 则 p(A) 和 A 的特征值与特征向量是什么关系? 有理函数呢? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/50

关于特征值的几点说明 ⊙只有当A是方阵时，才具有特征值与特征向量； ⊙实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的： )n阶矩阵总是存在n个特征值（其中可能有相等的），通常记为入1，入2，·，入 ○特征值也可以通过特征多项式的零点来定义： ⊙特征值有代数重数和几何重数，几何重数不超过代数重数： ⊙相似变换不改变矩阵的特征值，合同变换不改变矩阵的惯性指数 思考：设A∈Rnxn(或Cnxm),则 (1)A*和A的特征值和特征向量是什么关系？ (2)A-1和A,它们的特征值和特征向量是什么关系？ (3)设p(t)是多项式，则p(A)和A的特征值与特征向量是什么关系？有理函数呢？ http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/50

关于特征值的几点说明  只有当 A 是方阵时, 才具有特征值与特征向量;  实矩阵的特征值与特征向量也有可能是复的;  n 阶矩阵总是存在 n 个特征值 (其中可能有相等的), 通常记为 λ1, λ2, . . . , λn;  特征值也可以通过特征多项式的零点来定义;  特征值有代数重数和几何重数, 几何重数不超过代数重数;  相似变换不改变矩阵的特征值, 合同变换不改变矩阵的惯性指数. 思考：设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A∗ 和 A 的特征值和特征向量是什么关系? (2) A−1 和 A, 它们的特征值和特征向量是什么关系? (3) 设 p(t) 是多项式, 则 p(A) 和 A 的特征值与特征向量是什么关系? 有理函数呢? http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/50

谱半径 定义（谱半径）设A∈Rmxn(或Cnxn),则称 p(A)≌max{I} AEO(A) 为A的谱半径，其中σ(A)为A谱，即所有特征值组成的集合： o(A)={1,A2,,入n} http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 7/50

谱半径 定义 (谱半径) 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则称 ρ(A) ≜ max λ∈σ(A)  |λ| 为 A 的谱半径, 其中 σ(A) 为 A 谱, 即所有特征值组成的集合: σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λn}. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/50

特征值与行列式和迹的关系 根据高次多项式的韦达定理，我们可以得到下面的结论： 定理设A∈Rnxn(或Cnxm),称tr(A)兰a11+a22+·+amn为矩阵A的迹(trace),有 X12…Xn=det(A),X1+2+·+入n=tr(A) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 8/50

特征值与行列式和迹的关系 根据高次多项式的韦达定理, 我们可以得到下面的结论. 定理 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 称 tr(A) ≜ a11 +a22 +· · ·+ann 为矩阵 A 的迹 (trace), 有 λ1λ2 · · · λn = det(A), λ1 + λ2 + · · · + λn = tr(A). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/50

特征值分解（谱分解） 定义（特征值分解）设A∈Rnxn(或Cnxn).若存在非奇异矩阵X∈Cnxm,使得 X-1AX=A, (1.1) 其中△∈Cxn是对角矩阵，则称A是可对角化的，矩阵△的对角线元素即为A的特征 值，分解(1.1)称为矩阵A的特征值分解或谱分解。 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/50

特征值分解 (谱分解) 定义 (特征值分解) 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ). 若存在非奇异矩阵 X ∈ C n×n , 使得 X−1AX = Λ, (1.1) 其中 Λ ∈ C n×n 是对角矩阵, 则称 A 是可对角化的, 矩阵 Λ 的对角线元素即为 A 的特征 值, 分解 (1.1) 称为矩阵 A 的特征值分解或谱分解. 定理 设 A ∈ R n×n (或 C n×n ), 则 (1) A 可对角化当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当 A 的所有特征值的代数重数与几何重数都相等. 特别地, 若 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/50