《高等传热学》课程教学资源（文献资料）钢坯加热温度特性数学解析

第30卷第1期 工业炉 VoL30 No.1 2008年1月 Jan.2008 钢坯加热温度特性数学解析 蒋受宝，蒋绍坚，彭锐，童来会 中南大学能源科学与工程学院，湖南长沙410083) 意。的护内大与传锅洁相商化为体热用我学新的方注保。 表述钢坯热过 用 叶级数傅立 性 FEM LAB 合良好，证实了钢坯热过程数学解析的有效性和准确性 度特 源： 变量 计 解析 中图分类号：TF061.2 文献标识码： 文章编号：1001-6988(2008)01-0023-03 M athem aticalA nalysis on Tem perature Characteristics of B illet H eating JIANG Shou-bao,JIANG Shao-jian,PENG Rui.TONG Lai-hui Schoolof Energy Science and Engineering,CSU,Changsha 410083,China) abstract:Complex heat transfer process between the flame and billet inside the fumace is si plified into surface hot source hemalmodel Mathem atical analysis is usedo study mperature response charac- teristics of billet themmal process Researches show that the billet heating process can be descrbed by un- stable state heat conduction m athem atical model Accurate soltion of tem perature function could be ob- tained hrough the methods such as separation of variables,Fourier series,Fourier ansom and linear perposition.Analytic solution agrees with num erical cakulations fiom the software FEM LAB 3.1.The valid- K ey word:tem perature characteristic:surface hot source:separation of variables:mathem atical analysis 加热炉热过程包括燃料燃烧、炉气流动、炉气对 焰吹向炉壁的方式能够有效防止钢坯的氧化，但好 炉墙和钢坯传热、炉墙对钢坯传热及钢坯内部传热 壁烧损严重。科学研究表明在低氧高温空气条件下 等复杂过程。来自炉气、炉墙等外界的热能经钢 的燃烧，火焰充满整个炉膛，避免了出现局部高 坯的受热面进入钢坯，再经导热传递到钢坯内部 温高氧，传热效率显著改善，N0,成倍减少 在7 热能传入钢坯的方式通常是不均匀的，这种不均的 的火焰特性下外界对钢坯的传热可以简化为不同的 性不仅增加了能耗，而且降低了产品质量。炉气特 能量注入方式，如点热源注入和面热源注入方式。研 性是导致热能不均匀注入的主要因素之一。不同的 究能量注入后钢坯的温度特性，可为更好组织加热 燃烧方式具有不同的炉气特性。在传统的燃烧方式 炉内复杂的燃烧和 传热提供科学依据。数学解析是 中火焰直吹入炉膛，燃烧在很小的空间内完成，燃烷 种便捷、高效、经济的研究方法司，本文将炉内低 室内温度分布不均，热效率低，NO,排放量高。改为 氧高温空气燃烧供热抽象为面热源能量注入，用数 火焰直吹坯料表面后，燃烧热效率得到提高，但N0 学解析的方法研究此时钢坯的非稳态导热过程以及 排放量仍然很高，坯料表面的氧化烧损严重。将火 钢坯温度的响应特性。 1 传热数学模型 收稿日期：2007-12-10 作者简介：蒋受宝1970一)，男，讲师，主要从事高效低污染燃 如图1所示，建立坐标系，求解区域为长方体 烧研究工作， 长方体的一个顶点和原点重合，通过该顶点的3条 23

工 业 炉 第 30 卷 第 1 期 2008 年 1 月 加热炉热过程包括燃料燃烧、炉气流动、炉气对 炉墙和钢坯传热、炉墙对钢坯传热及钢坯内部传热 等复杂过程[1，2] 。来自炉气、炉墙等外界的热能经钢 坯的受热面进入钢坯，再经导热传递到钢坯内部。 热能传入钢坯的方式通常是不均匀的，这种不均匀 性不仅增加了能耗，而且降低了产品质量。炉气特 性是导致热能不均匀注入的主要因素之一。不同的 燃烧方式具有不同的炉气特性。在传统的燃烧方式 中火焰直吹入炉膛，燃烧在很小的空间内完成，燃烧 室内温度分布不均，热效率低，NOx 排放量高。改为 火焰直吹坯料表面后，燃烧热效率得到提高，但 NOx 排放量仍然很高，坯料表面的氧化烧损严重。将火 焰吹向炉壁的方式能够有效防止钢坯的氧化，但炉 壁烧损严重。科学研究表明在低氧高温空气条件下 的燃烧[3，4] ，火焰充满整个炉膛，避免了出现局部高 温高氧，传热效率显著改善，NOx 成倍减少。在不同 的火焰特性下外界对钢坯的传热可以简化为不同的 能量注入方式，如点热源注入和面热源注入方式。研 究能量注入后钢坯的温度特性，可为更好组织加热 炉内复杂的燃烧和传热提供科学依据。数学解析是 一种便捷、高效、经济的研究方法[5] ，本文将炉内低 氧高温空气燃烧供热抽象为面热源能量注入，用数 学解析的方法研究此时钢坯的非稳态导热过程以及 钢坯温度的响应特性。 1 传热数学模型 如图 1 所示，建立坐标系，求解区域为长方体。 长方体的一个顶点和原点重合，通过该顶点的 3 条 钢坯加热温度特性数学解析 蒋受宝，蒋绍坚，彭 锐，童来会 （中南大学 能源科学与工程学院，湖南 长沙 410083） 摘 要：将复杂的炉内火焰与钢坯传热过程简化为面热源传热，用数学解析的方法研究钢坯热过程温度响应特征。 研究表明：可用非稳态导热数学模型表述钢坯热过程；用分离变量、傅立叶级数、傅立叶变换、线性叠加等方法，求得钢坯 温度函数精确解；解析解与 FEMLAB 3.1 数值计算吻合良好，证实了钢坯热过程数学解析的有效性和准确性。 关键词：温度特性；面热源；分离变量；数学解析 中图分类号：TF061.2 文献标识码：A 文章编号：1001- 6988（2008）01! 0023" 03 Mathematical Analysis on Temper atur e Char acteristics of Billet Heating JIANG Shou!bao，JIANG Shao!jian，PENG Rui，TONG Lai!hui （School of Energy Science and Engineering，CSU，Changsha 410083，China） Abstr act：Complex heat transfer process between the flame and billet inside the furnace is simplified into surface hot source thermal model. Mathematical analysis is used to study temperature response charac￾teristics of billet thermal process. Researches show that the billet heating process can be described by un￾stable state heat conduction mathematical model. Accurate solution of temperature function could be ob￾tained through the methods such as separation of variables，Fourier series，Fourier transform and linear su￾perposition. Analytic solution agrees with numerical calculations from the software FEMLAB 3.1. The valid￾ity and accuracy of mathematical analysis to billet heating process are proved. Key word：temperature characteristic；surface hot source；separation of variables；mathematical analysis 收稿日期：2007- 12- 10 作者简介：蒋受宝（1970—），男，讲师，主要从事高效低污染燃 烧研究工作. 工 业 炉 Industrial Furnace 第 30 卷第 1 期 2008 年 1 月 Vol.30 No.1 Jan. 2008 23

热工计算：钢坯加热温度特性数学解析 边分别和x、y和z轴重合。热流沿者-2方向从顶面 注入，其余5面绝热。位于点。，y,z)的微元体 解得T,0-1.0)e0 dxdydz能量平衡满足： 因此目么0-T,0csz)e 4a=0 边界条件90，t)gL,tD=q 由叠加定理可知，4么心∑1,0csge 初始条件0,0) 也是原方程的解。 式中：0-温度，℃ a一热扩散率，m 由初始条件得g么t∑T,0csg) L一长方体沿z轴方向边长，m 由函数系cos2)的正交性得到 t一时间，s q一热流密度， T。。&DdzA 下标t表示对t的一阶偏导，z表示对z的一阶 A,=2.9么，0)cos (z)dzL 偏导，z表示对z的二阶偏导。 T。-qL/60 T,=-2qL1)/arp2) 6-景头m叫坚中 0 得6[巴+荒言头 空1g中】 围1而热源简化横型 3 精确解的有效性验证 2钢坯温度分布精确解 FEM LAB fnite element modeling laboratory) 令q=q2/2)+aqt/,0么，D=g么+么, 瑞典C0MS0L公司开发的分析多物理现象的有限 式中：入为热导率，/血K),则得 元分析软件。本文将FEM LAB有限元分析结果与精 9ag=0 1) 确解对比，以验证精确解的有效性。 边界条件g0,t)=0 0.L,tU=0 采用FEM LAB3.1的计算和数学分析计算选围 初始条件日.0)=-0/2礼) 相同工况。绘制三维立方体，坐标轴默认，钢坯尺寸 假设g,t)=T0),将它带入式4)得T 为1mAm×m,密度正7580kgh3,比热容c aTZ0,左右同时除以aTZ,令T'/T)=Z"亿=-K, 475/飞R).热导率=445W/K).设定制坏 初始温度25℃， 热流密度q=121702.257W, T+aKT=074K7=0 动划分有限元网格为四面体网格单元，精度选定为 若K<0,则,D只有零解 一般：加热时间t为36000s,时间步长△t为60s, 设K=子，Y是非负实数，由初始条件和边界条 相对公差和绝对公差为认值。 件得 在面热源物理模型」 ,取钢锭中采样点10.5 =p或pL,p=4,2,3,K) 0.5,0)、采样点20.5,0.5,0.5)和采样点30.5， 综上所述， 0.5,1)3点，即与z轴平行的中心轴上的3点来分析 =pL,p=0,1,2,3,K 钢锭温度随时间变化的关系。图2为理论计算结果 0os0z),p=0,1,2,3,K 与FEM LAB软件计算结果的曲线图。曲线空心标 因此 代表精确解，实心标记代表采用FEM LAB仿真的结 T'ptayT,=0 果。结果表明：

工 业 炉 Industrial Furnace 第 30 卷第 1 期 2008 年 1 月 Vol.30 No.1 Jan. 2008 边分别和 x、y 和 z 轴重合。热流沿着- z 方向从顶面 注入，其余 5 面绝热。位于点 （x，y，z）的微元体 dxdydz 能量平衡满足： θt- aθzz=0 边界条件 θz（0，t） θz（L，t）=q 初始条件 θ（z，0） 式中：θ—温度，℃ a —热扩散率，m2 /s L—长方体沿 z 轴方向边长，m t —时间，s q—热流密度，W/m2 下标 t 表示对 t 的一阶偏导，z 表示对 z 的一阶 偏导，zz 表示对 z 的二阶偏导。 2 钢坯温度分布精确解 令 θ1=qz2 /（2λL）+aqt/λL，θ（z，t）=θ2（z，t）+θ1（z，t）， 式中：λ为热导率，W/（m·K），则得 θ2t- aθ2z=0 （1） 边界条件 θ2z（0，t）=0 θ2z（L，t）=0 初始条件 θ2（z，0）=- qz2 /（2λL） 假设 θ2（z，t）=T（t）Z（z），将它带入式（1）得 T′Z - aTZ ″=0，左右同时除以 aTZ，令 T′/（aT）=Z″/Z=- K， 即 T′+aKT=0 Z″+KZ=0 若 K<0，则 θ2（z，t）只有零解。 设 K=γ2 ，γ是非负实数，由初始条件和边界条 件得 γL=pπ或 γ=pπ/L，p=（1，2，3，K） 综上所述，故 γp=pπ/L，p=（0，1，2，3，K） Zp=cos（γpz），p=（0，1，2，3，K） 因此 T′p+aγp 2 Tp=0 解得 Tp（t）=Tp（0）·e - aγp 2 t 因此 θ2（z，t）=Tp（0）cos（γpz）·e - aγp 2 t 由叠加定理可知，θ2（z，t）= ∞ !p=0 Tp（0）cos（γpz）·e - aγp 2 t 也是原方程的解。 由初始条件得 θ2（z，t）= ∞ !p=0 Tp（0）cos（γpz） 由函数系 cos（γpz）的正交性得到 T0= L "0 θ2（z，t）dz/L Ap=2 L "0 θ2（z，0）cos（γpz）dz/L T0=- qL/（6λ） Tp=- 2qL（- 1）p /（λπ2 p2 ） 所以 θ2（z，t）=- qL 6λ- ∞ !p=0 2qL（- 1）p λπ2 p2 cos pπz #L $·e - ap 2 π 2 t L % 2 & 得 θ（z，t）= q λ at L + z2 2L - 1 6 % L- 2L π ∞ !p=1 （- 1）p cos（γpz）·e - aγp 2 t p # 2 ’& 3 精确解的有效性验证 FEMLAB（finite element modeling laboratory）是 瑞典 COMSOL 公司开发的分析多物理现象的有限 元分析软件。本文将 FEMLAB 有限元分析结果与精 确解对比，以验证精确解的有效性。 采用 FEMLAB 3.1 的计算和数学分析计算选取 相同工况。绘制三维立方体，坐标轴默认，钢坯尺寸 为 1 m×1 m×1 m，密度 ρ=7 580 kg/m3 ，比热容 cp= 475 J/（kg·K），热导率 λ=44.5 W/（m·K），设定钢坯 初始温度 θ0=25 ℃，热流密度 q=121 702.257 W，自 动划分有限元网格为四面体网格单元，精度选定为 一般；加热时间 t 为 36 000 s，时间步长 Δt 为 60 s， 相对公差和绝对公差为默认值。 在面热源物理模型上，取钢锭中采样点 1（0.5， 0.5，0）、采样点 2（0.5，0.5，0.5）和采样点 3（0.5， 0.5，1）3 点，即与 z 轴平行的中心轴上的 3 点来分析 钢锭温度随时间变化的关系。图 2 为理论计算结果 与 FEMLAB 软件计算结果的曲线图。曲线空心标记 代表精确解，实心标记代表采用 FEMLAB 仿真的结 果。结果表明： z y 0 x 图 1 面热源简化模型 热工计算：钢坯加热温度特性数学解析 24

工业炉第30卷第1期2008年1月 《)采样点3离热源最近，其温度最高，离热源 较远处采样点1和采样点2刚开始时温度升高并不 4结论 明显，随着热量不断累积温度升高明显加快。面热 建立非稳态导热数学模型，对钢坯的传热过程进 源加热讨时程中钢坏内温度分布右一定的梯度性，即 行了描述，通过分离变量 ,博立叶级数 、博立叶 离热源较远处温度较低，钢坯整体温度随加热的进 换”、线性叠加等数学工具，求得了方程的解析解，从 行是不断升高的。 而求得描述面热源注入时钢坯温度分布函数的解析 2)点1、点2的FEM LAB仿直计算结果和精 式。将钢坏非稳态导热规律用数学方程组来描述，这些 确求解十分接近，点3的FEMLAB仿真计算结果略 关系式较准确地反映了钢坯内部的温度分布规律，并 大于本文的精确解，最大误差为9℃由图2可以看 且解析式中保留了物理过程所有的过程参数、物性 出验证值与精确解是吻合的。两者间存在数值误 数及几何结构参数，从而使得对钢坯热过程的机理分 是多方面造成的：在建模过程中，有控制方程、初始 析和影响因素分析变得明朗。与商业软件对比，解析解 条件和边界条件、物性参数引起的误差等：在离散的 的代越性体现在温度定义在连续的定义域、物理意义 过程中，右差分格式、边界多件的数值处理方法、网 清晰明确、计算速度快及程序简单易懂等等。它避免了 格的疏密与分布、非稳态问题的时间离散等带来的 商业软件花费大、收敛性难以提前确定、计算机软硬件 误差：此外，在计算过程中有舍入误差和迭代过程中 配置要求高等缺点，在涉及软件应用的开放性、经济 的不完全误差。 性、自主知识产权以及现场在线检测等方面，数学解 900 析解都有者不可比拟的优越性。所获得的数学解析解 ●一点1实心为FEMLAB结界 800 应用范围 常 泛 ,实际生产和日常生活中，都可 ←点2空心为精确解 用其对火焰和加热体之间热传导问题进行分析研究。 点3 600 都老文就： 50 MACCH ION 0,ZAHRAI S,BOUW MAN JW.Heat transfer fiom 400 ching fimace Joumal of M a- 30 Tech.006)356-362. CHENG W T.HUANG C N.DU S W Th edmomsomalint 200 100 10152025303540 B]艾元方，蒋绍坚，周子民，等.高风温无焰燃烧及其火焰特性的 实验研究1热能动力工程，2001,166)：283-265 们蒋绍坚，彭好义，艾元方，等.高温空气燃烧新型锅炉及特性分 B)FEM LAB仿真计算结果和本文的精确解是 析0热能动力工程，2000.15420-23.114 法求解蜂窝答 致的。 循环经济是节能减排的最有效模式 25

工 业 炉 第 30 卷 第 1 期 2008 年 1 月 （1）采样点 3 离热源最近，其温度最高，离热源 较远处采样点 1 和采样点 2 刚开始时温度升高并不 明显，随着热量不断累积温度升高明显加快。面热 源加热过程中钢坯内温度分布有一定的梯度性，即 离热源较远处温度较低，钢坯整体温度随加热的进 行是不断升高的。 （2）点 1、点 2 的 FEMLAB 仿真计算结果和精 确求解十分接近，点 3 的 FEMLAB 仿真计算结果略 大于本文的精确解，最大误差为 9 ℃。由图 2 可以看 出验证值与精确解是吻合的。两者间存在数值误差 是多方面造成的：在建模过程中，有控制方程、初始 条件和边界条件、物性参数引起的误差等；在离散的 过程中，有差分格式、边界条件的数值处理方法、网 格的疏密与分布、非稳态问题的时间离散等带来的 误差；此外，在计算过程中有舍入误差和迭代过程中 的不完全误差。 （3）FEMLAB 仿真计算结果和本文的精确解是 一致的。 4 结论 建立非稳态导热数学模型，对钢坯的传热过程进 行了描述，通过“分离变量”、“傅立叶级数”、“傅立叶变 换”、“线性叠加”等数学工具，求得了方程的解析解，从 而求得描述面热源注入时钢坯温度分布函数的解析 式。将钢坯非稳态导热规律用数学方程组来描述，这些 关系式较准确地反映了钢坯内部的温度分布规律，并 且解析式中保留了物理过程所有的过程参数、物性参 数及几何结构参数，从而使得对钢坯热过程的机理分 析和影响因素分析变得明朗。与商业软件对比，解析解 的优越性体现在温度定义在连续的定义域、物理意义 清晰明确、计算速度快及程序简单易懂等等。它避免了 商业软件花费大、收敛性难以提前确定、计算机软硬件 配置要求高等缺点，在涉及软件应用的开放性、经济 性、自主知识产权以及现场在线检测等方面，数学解 析解都有着不可比拟的优越性。所获得的数学解析解 应用范围非常广泛，实际生产和日常生活中，都可以 用其对火焰和加热体之间热传导问题进行分析研究。 参考文献： [1] MACCHION O，ZAHRAI S，BOUWMAN J W. Heat transfer from typical loads within gas quenching furnace [J]. Journal of Ma￾terials Processing Tech，2006（3）：356- 362. [2] CHENG W T，HUANG C N，DU S W. Three dimensional iron flow and heat transfer in the hearth of a blast furnace during tap￾ping process [J]. Chemical Engineering Science，2005，60（16）： 4 485- 4 495. [3] 艾元方，蒋绍坚，周孑民，等. 高风温无焰燃烧及其火焰特性的 实验研究[J]. 热能动力工程，2001，16（6）：263- 265. [4] 蒋绍坚，彭好义，艾元方，等. 高温空气燃烧新型锅炉及特性分 析[J]. 热能动力工程，2000，15（4）：20- 23，114. [5] 艾元方，孙英文，黄国栋，等. 用拉普拉斯变换法求解蜂窝蓄热 体气固温度分布[J]. 工业加热，2006，35（2）：4- 6. 图 2 面热源内部温度随时间变化图 循环经济是节能减排的最有效模式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! ! ! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! " 25