清华大学：《微积分》课程教学资源_第七章 定积分（课后作业）

第七章定积分 第七章定积分 The definite integration 习题讨论 题目: 1,计算I= + a 2,计算n=「r(an),其中n,m为自然数。 3,计算J=-,其中x」是x的整数部分 4,一研究l1 (++女,=「。m,D0的敛散性 x sin x 解答: ,计算/=∫ b)2+a 解:令t=x-b, a Ⅰ=4 =2√a +2 arctaN v a 7 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 第七章 定积分 ( The definite integration ) 习题讨论 题目： 1, 计算 ( )  + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 。 2, 计算 ( )  = 1 0 I t ln t dx n m m , 其中 n, m 为自然数。 3, 计算    +       = − 1 1 1 dx x x J , 其中 x 是 x 的整数部分。 4, 一研究 ( )  + + = 0 2 1 sin sin dx x x x x I p p ,  + + = 0 2 sin sin dx x x x I p , p>0 的敛散性. 解答： 1, 计算 ( )  + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 。 解：令 t = x −b, ( )  + − − + − = dx x b a a x b I 2 2 =  + − + dt t a a t 2 2 =  + + 0 2 2 2 dt t a a t ; 令 a t v = ,  + + = 0 4 2 1 4 v v dv I a ; 令 v w 1 = ,  + + = 0 4 2 1 4 v v dv I a =  + + 0 4 1 4 w dw a ;  + + + = 0 4 2 1 1 2 dv v v I a = ( ) ( ) ( )   + − + − − − + + − = + + 0 2 1 1 0 2 2 2 2 4 1 4 v v d v v dv a v v v a = a  v a arctg v 2 1 2 1 2 0  =      − +

第七章定积分 2,计算lm=jr(m)d,其中Bm为自然数 解:1=r(mpd l() ∫rny-d -1 n ! (-) n+1 (-1m1 n 3,计算J= dt,其中x是x的整数部分 解:首先证收敛性:因 xx xla 5xi-D) -dx0+, P ”+smx(x+xx214x+n2,p≥1 p<1p<3/2→p<1 dx收敛 .P+sin x P≥1,-P<3→无解 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 2, 计算 ( )  = 1 0 I t ln t dx n m m , 其中 n, m 为自然数。 解： ( )  = 1 0 I t ln t dx n m m = ( ) ( )  + + 1 0 1 ln 1 1 m n t d t n = ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 1 1 ln 1 ln 1 1 − + − + = − + − +  m n m n m I n m t t dt n m t t n ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 ! 1 ! 1 1 − + + − = + = − + = −  m m n m m m m n m t dt n m I n m I . 3, 计算    +       = − 1 1 1 dx x x J , 其中 x 是 x 的整数部分。 解：首先证收敛性：因       ( 1) 1 1 1 −   − − = x x x x x x x x ( ) 2 1 1 −  x , ( )     + +  +        +  − 2 − 1 2 1 1 1 dx x x x dx ;    +       = − 1 1 1 dx x x J =          − →+ n n dx x x 1 1 1 lim =      − = →+ − = + →+       + = −       − 1 1 1 1 1 1 ln 1 lim 1 1 lim n k n n k k k n k k k dx x x = ( )       − − = → 1 1 ln 1 lim n k n n k . 4, 一研究 ( )  + + = 0 2 1 sin sin dx x x x x I p p ,  + + = 0 2 sin sin dx x x x I p , p>0 的敛散性. 解：对于 I1: 在 0 点： ( ) ( ) ( )       + + → − − − − − + , 1 , 1 ~ ~ sin sin 0 , ( 2) 2 2 2 2 Ax p x p x x x x x x x x x p p p p p p ; p 1, p  3 2  p  1, ( )  + 1 0 2 sin sin dx x x x x p p 收敛 p  1, − p  3  无解

第七章定积分 在+∞点:x→∞+Sn2x≤~S '(x+l)r-x+sin x(P-l)br dx收敛;,p dx发散 2 t sin x 结论:1>p> d收敛.其他情形发散。 P+sin x 对于在0点:x→>0, sIn x ,porp+1)xp x+sin x rp-lbp sin xdx收敛;,Ps sin x dx发散 ( xP+sin x (xP+sin x sIn x 结论:p> 2'J(xP+sin x) dx收敛.其他情形发散 第七章定积分

第七章 定积分 第七章 定积分 在 + 点： ( ) ( ) p p p p p x x x x x x x x x 1 1 sin sin 1 sin , 2 2 −  +  + →  + 2 1 p  , ( )  + + 1 2 sin sin dx x x x x p p 收敛；, 2 1 p  , ( )  + + 1 2 sin sin dx x x x x p p 发散. 结论： 2 1 1  p  , ( )  + + 0 2 sin sin dx x x x x p p 收敛. 其他情形发散。 对于 I2: 在 0 点： ( ) ( ) ( )       + + → − − − − + , 1 , 1 ~ ~ sin sin 0 , ( 1) 1 x p x p x x x x x x x p p p ; p  1, ( )  + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛；, p  1, ( )  + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛. p , ( )  + 1 0 sin sin dx x x x p 收敛; 在 + 点： ( ) ( ) p p p p p x x x x x x x x x sin sin sin 1 sin 2 + = − + ( ) ( ) p p p p p x x x x x x x x x 1 1 sin sin 1 sin , 2 2 −  +  + →  + 2 1 p  , ( )  + + 1 sin sin dx x x x p 收敛；, 2 1 p  , ( )  + + 1 sin sin dx x x x p 发散. 结论： 2 1 p  , ( )  + + 0 sin sin dx x x x p 收敛. 其他情形发散