清华大学出版社：《运筹学》课程教学资源（PPT课件讲稿，教材第三版）第2章 对偶理论和灵敏度分析 第5节 对偶问题的经济解释（影子价格）、第6节 偶单纯形法

第2章 运筹学 对偶理论 和灵敏度 (第三版) 分析 《运筹学》教材编写组编 第5节 对偶问题 的经济解 释——影 子价格 第6节 对偶单纯 形法 清华大学出版社 钱颂迪制作

运筹学 （第三版） 《运筹学》教材编写组 编 清华大学出版社 第2章 对偶理论 和灵敏度 分析 第5节 对偶问题 的经济解 释——影 子价格 第6节 对偶单纯 形法 钱颂迪制作

第2章对偶理论和灵敏度分析 第5节对偶问题的经济解释 影子价格

第2章 对偶理论和灵敏度分析 第5节 对偶问题的经济解释 ——影子价格

在单纯形法的每步迭代中,目标函数取值 =CBb,和检验数 CI-CB-IN中都有乘子 Y=CBB-,那么Y的经济意义是什么? 设B是{maxz=CX|AX0}的最优基 由Yb=CBb(2-12)式可知 Z=CB-b=Y 'b 对z求偏导数,得 =CB=Y ab

在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值 z=CBB-1b，和检验数CN -CBB-1N中都有乘子 Y=CBB-1，那么Y的经济意义是什么? • 设B是｛max z=CX｜AX≤b，X≥0｝的最优基， 由-Yb= -CB B-1b (2-12)式可知 • z *=CBB-1b=Y*b 。 • 对z求偏导数，得 * B * C B Y b z = =   −1

由上式可知,变量y的经济意义是在其他条件 不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函的 最优值的变化。 230000 B C203 b442 00 01/40 21/21 000 112-1/80 z-14 0|-3/2-180

由上式可知，变量yi *的经济意义是在其他条件 不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函的 最优值的变化。 cj 2 3 0 0 0 θ CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 x1 4 1 0 0 1/4 0 0 x5 4 0 0 -2 1/2 1 3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0 -z -14 0 0 -3/2 -1/8 0

y1=1.5,y2=0.125,y3=0 ·这说明是其他条件不变的情况下,若设备增加一台时, 该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元;原材料A增 加1kg,可多获利0.125元;原材料B增加kg,对获利 无影响, 从图2-1可看到,设备增加一台时,代表该约束条件 的直线由①移至①′,相应的最优解由(4,2)变为(4, 2.5),目标函数z=2×4+3×2.5=15.5,即比原来的增 大1.5。又若原材料A增加1kg时,代表该约束方程的 直线由②移至②′,相应的最优解从(4,2)变为 (4.25 1.875) 目标函数 2 ×4.25+3×1.875=14.125。比原来的增加0.125。原 材料B增加1kg时,该约束方程的直线由③移至③′, 这时的最优解不变

y1 *=1.5，y2 *=0.125，y3 *=0。 • 这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台时， 该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元；原材料A增 加1kg，可多获利0.125元；原材料B增加1kg，对获利 无影响。 • 从图2-1可看到，设备增加一台时，代表该约束条件 的直线由①移至①′ ，相应的最优解由(4，2)变为(4， 2.5)，目标函数z=2×4+3×2.5=15.5，即比原来的增 大1.5。又若原材料A增加1kg时，代表该约束方程的 直线由②移至②′ ，相应的最优解从(4，2)变为 (4.25 ， 1.875) ， 目标函数 z= ２ ×4.25+3×1.875=14.125。比原来的增加0.125。原 材料B增加1kg时，该约束方程的直线由③移至③′ ， 这时的最优解不变

图2 4,25) C425,.875) A(4,2) 0 123456789

图2-1

y的值代表对第i种资源的估价-影子价格 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特 殊价格,称它为“影子价格”。在该厂现有资源和现 有生产方案的条件下,设备的每小时租费为1.5元, 1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元,1kg 原材料B可按原成本出让,这时该厂的收入与自己组织 生产时获利相等。影子价格随具体情况而异,在完全 市场经济的条件下,当某种资源的市场价低于影子价 格时,企业应买进该资源用于扩大生产;而当某种资 源的市场价高于企业影子价格时,则企业的决策者应 把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用

yi *的值代表对第i种资源的估价-影子价格。 • 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特 殊价格，称它为“影子价格” 。在该厂现有资源和现 有生产方案的条件下，设备的每小时租费为1.5元， 1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元，1kg 原材料B可按原成本出让，这时该厂的收入与自己组织 生产时获利相等。影子价格随具体情况而异，在完全 市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资 源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应 把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用

第6节偶单纯形法 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关 系时指出:在单纯形表中进行迭代时,在b列 中得到的是原问题的基可行解,而在检验数行 得到的是对偶问题的基解。 通过逐步迭代,当在检验数行得到对偶问题的 解也是基可行解时,根据性质(2)、(3)可知, 得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解

第6节 偶单纯形法 • 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关 系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b列 中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行 得到的是对偶问题的基解。 • 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的 解也是基可行解时，根据性质(2)、(3)可知，已 得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解

根据对偶问题的对称性 可以这样考虑:若保持对偶问题的解是 基可行解,即cCB-P≤Q,而原问题在 非可行解的基础上,通过逐步迭代达到 基可行解,这样也得到了最优解。 其优点是原问题的初始解不一定是基可 解,可从非基可行解开始迭代。 方法如下:

根据对偶问题的对称性 • 可以这样考虑：若保持对偶问题的解是 基可行解，即cj -CBB-1Pj ≤0，而原问题在 非可行解的基础上，通过逐步迭代达到 基可行解，这样也得到了最优解。 • 其优点是原问题的初始解不一定是基可 行解，可从非基可行解开始迭代。 • 方法如下：

设原问题 maxz=CⅩ AX-b X>0 又设B是一个基。 不失一般性,令B=(P1,P2,…,Pn),它对应 的变量为XB=x,x2,…,xn) 当非基变量都为零时,可以得到X=Bb。若 在B-b中至少有一个负分量,设(Bb)<0,并 且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正, 即对偶问题保持可行解,它的各分量是

设原问题 max z=CX AX=b X≥0 • 又设B是一个基。 • 不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm )，它对应 的变量为 XB=(x1，x2，…,xm ) • 当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若 在B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i＜0，并 且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正， 即对偶问题保持可行解，它的各分量是