《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第五讲 变质量物体及角动量守恒定律

第五讲 变质量物体 及角动量守恒定律

第五讲 变质量物体 及角动量守恒定律

本讲导读 变质量物体的运动 力矩、冲量矩、角动量 类比法 质点对固定点、固定轴的角动量定理 角动量守恒定律 对质心的角动量定理 F→>M F p→L d、dC

本 讲 导 读 •变质量物体的运动 •力矩、冲量矩、角动量 •类比法 •质点对固定点、固定轴的角动量定理 •角动量守恒定律 •对质心的角动量定理 p L F M     → → t L M t p F d d d d     = → =

、变质量物体的运动方程 物体质量不为常数的情况,火箭、传送带、雨滴等 设一物体在时质量为m,速度是v,同时一微小质 量△m以速度u运动,并在△时间内与m相合并,合并后 共同速度是叶△v如果作用在m及△m上的合外力为F, 则由动量定理,得 m+△m)(+△i)-m-△m=FA

物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等． 设一物体在t时质量为m，速度是v，同时一微小质 量m以速度u运动，并在t时间内与m相合并，合并后 共同速度是v+v. 如果作用在m及m上的合外力为F， 则由动量定理，得 m + m (v + v)− mv −mu = Ft      ( ) 一、变质量物体的运动方程

只保留一阶小量,得 (m~ u= F dt dt u是代表微质量△m末与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度.如u=0,则可以简化为 d (mv)=F dt 如果u=v,则简化为牛顿运动方程的形式

只保留一阶小量, 得 u F t m mv t    − = d d ( ) d d u是代表微质量m末与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度. 如u = 0, 则可以简化为 mv F t   ( ) = d d 如果 u = v, 则简化为牛顿运动方程的形式

例1、已知火箭从静止开始发射,质量为mb=2.72×10°kg 火箭以 dm=-129×103kgs速率喷射气体,气体喷出 dt 速度为vm=550×104ms求火箭在发射155秒的速度 解:受力只有重力,所以 d dm dt d 选取向上为正向

例1、已知火箭从静止开始发射，质量为 2.72 10 kg 6 m0 =  火箭以 1.29 10 kg/s d d 3 = −  t m 速率喷射气体. 气体喷出 速度为 5.50 10 m/s 4 vrel =  求火箭在发射155秒的速度. 解: 受力只有重力, 所以 v mg t m mv t rel    − = d d ( ) d d 选取向上为正向

dνwdm am dy tv d dt m dt m 1 re g dm 从题已知,m=m0dt 272×10-129×10×15kg =2.52×10kg 所以 =2.68×103ms

g t m m v t v rel + = − d d d d    + = − m t m rel v v g t m m v v f f 0 d d d 0 0 gt m m v v v f f rel −         = + 0 0 ln 从题已知, ( ) 2.52 10 kg 2.72 10 1.29 10 155 kg d d 6 6 4 0 =  =  −   = − t t m mf m 2.68 10 m/s 3 所以 vf = 

二、力矩与角动量 1.对定点的力矩 设作用力F作用于矢 OLr d 径为F的某一点上 作用力F对参考原点O的力矩定义为 M=×园单位:Nm

1. 对定点的力矩 设作用力 作用于矢 径为 的某一点上 F  r  M r F    =  单位：N·m 作用力 F 对参考原点O 的力矩定义为：  F  r  O  d M  二、力矩与角动量

M=×园 力矩的大小:M= Frsin p 力矩的方向:位矢F与作用力F的矢积方向 力臂:作用力线到参考点O的垂直距离(d= rsing)

M r F    =  力矩的大小： M = Frsin  力矩的方向： 位矢 与作用力 F 的矢积方向  r  力臂：作用力线到参考点O 的垂直距离(d =rsin) F  r  O  d M 

2.对定轴的力矩 对转轴力矩的定义: M 在垂直于转轴的平面 内,外力F与力线到转 轴的距离d的乘积定义为 对转轴的力矩 d M=F×F 力矩逆时针方向M为正 对于定轴转动,规定:力矩顺时针方向M为负

z F =  r  F⊥   d 对转轴力矩的定义： 在垂直于转轴的平面 内，外力 与力线到转 轴的距离d 的乘积定义为 对转轴的力矩. F⊥  = F⊥ M r    对于定轴转动，规定： 力矩逆时针方向 M 为正.  力矩顺时针方向 M 为负.  M  F  2. 对定轴的力矩

求作用力F对空间某轴的力矩,L 考虑分量,力对原点的力矩为 M=×F=x FFF GF -=F,)i+G=F -xF)j+(xF-yEk 上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是 力分别对三坐标轴的力矩所以求力对轴的力矩,可 以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向

求作用力 对空间某轴的力矩, 考虑分量,力对原点的力矩为 F  r  Fx y z(L) Fy Fz O (yF zF )i (zF x F )j (x F yF )k F F F x y z i j k M r F z y x z y x x y z          = − + − + − =  = 上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量, 也就是 力分别对三坐标轴的力矩. 所以求力对轴的力矩, 可 以先求对轴上一点的力矩, 再投影到轴的方向