《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第六讲 机械能（机械能势能曲线）

第六讲 机械能(一)

第六讲 机械能 (一)

本讲导读 功、能量定义 势能、动能 保守力系 质点及质点系动能定理 质点系的机械能 碰撞

本 讲 导 读 • 功、能量定义 • 势能、动能 • 保守力系 • 质点及质点系动能定理 • 质点系的机械能 • 碰撞

能和功 1什么是能量?什么是功? 麦克斯韦定义:能量是一个物体具有的做功能力 一般功的定义:物体能量改变的度量 循环定义! 所以必须先给出其中一个物理量确切的定义 (本教材定义)功:凡是作用在物体上的力,使得物体沿 力的方向上移动了位置,就说力对物体做了功.一般来 说功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移

1 什么是能量？什么是功？ 麦克斯韦定义：能量是一个物体具有的做功能力. 一般功的定义: 物体能量改变的度量. 循环定义!! 所以必须先给出其中一个物理量确切的定义! (本教材定义)功: 凡是作用在物体上的力, 使得物体沿 力的方向上移动了位置, 就说力对物体做了功. 一般来 说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移. 一、能和功

F cA= Fcos a dr=F·cr dr 功的单位:J 质点沿曲线L从a运动到b力F所做的功 dA=F·cF dr b A=Fdr F F+F,+Fk)·(xi+m+dzk) . Fdx+ Fdy+edz

dA F dr F dr   = cos =  F  dr   功的单位：J dr   F  a b 质点沿曲线 L 从 a 运动到 b力 F 所做的功： dA F dr   =     = + + = + +  + + =  L x y z L x y z L F dx F dy F dz F i F j F k dxi dyj dzk A F dr ( ) ( )        

例重力的功dA=GcF -mg (dxi +dy b yf m dr -gay A=-mg dy=mgy, -mgy V1 例弹性力的功匕△△△∧m上m F=-kxi a Xb A=「F·c=2-kx.cxi kxdx 2 2

例 重力的功 mgdy mgj dx i dyj dA G dr = − = −  + =  ( )      1 2 2 1 A m g dy mgy mgy yy = − = −  y 1 y2 a b y x dr  m G 例 弹性力的功 x 2 o x 1 b m x a m F x F kxi   = −    =  = −  = − 21 21 xx xx A F dx k xi dxi kxdx    22 21 21 21 A = k x − k x

例平方反比力 万有引力、电磁力等 c b Mm r+dr Mm A Gn=F·cF dr=rdrl cosa=rdr h dr A=-Go Mm)=-GoMn la r

例 平方反比力 r r Mm F G   0 3 = −  = −  b a r r r dr r Mm A G   0 3 r dr = r dr cos = rdr            = − = − −  a b r r r r G Mm r dr A G Mm b a 1 1 0 2 0 M a b a r  b r  r  r dr   + dr  c  dr 万有引力、电磁力等

合力的功:A=F亦=G++…+Fd F·+F2:d+…+F2, 合力的功等于各分力的功的代数和 对相互作dA=A+A2=F1·Ch1+F2C2 用力的功: F1:O1-F1·O2=F1·d(-2) F1·cdhi 当Oi2=0,A=0

合力的功： A F dr (F F F ) dr L n L        =  = + + +    1 2    =  +  + +  L n L L F dr F dr F dr        1 2 合力的功等于各分力的功的代数和. 一对相互作 用力的功: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) F dr F dr F dr F d r r dA A A F dr F dr              =  =  −  =  − = + =  +  dr12 = 0 , dA = 0  当

2保守力、非保守力与耗散力 力场:假如力仅是坐标x、y、z单值的、有限的 和可微的函数,则在空间区域每一点上,都将有 定的力作用着,这个空间叫做力场 如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度,即 o-o-0 +-k av. a aV 则dA= dx t dy+d 为一个全微分.显然这个力作用物体在空间运动一个 闭合曲线做功为零

          +   +   = − z z V y y V x x V dA d d d 力场: 假如力仅是坐标x、y、z的单值的、有限的 和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有 一定的力作用着，这个空间叫做力场. 如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度，即           +   +   = − k z V j y V i x V F     则 为一个全微分. 显然这个力作用物体在空间运动一个 闭合曲线做功为零. 2 保守力、非保守力与耗散力

F·dr=0 保守力:使物体运动任一闭合路径作功等于零的力 保守力儆劝与路无关 例(1)重力=mg!d=mg-mg2 子 (i)弹性力4=kx-k2 2 (f)平方反比力A=GMmr dr -G. Mml 非保守力:做功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力) 耗散力:做功与经历的路径有关,但总是做负功 的力.例如摩擦力

保守力: 使物体运动任一闭合路径作功等于零的力  F dr = 0   做功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力) 保守力做功与路径无关 非保守力: 耗散力: 做功与经历的路径有关, 但总是做负功 的力. 例如:摩擦力 例 子 1 2 2 1 A m g dy mgy mgy y y = − = − (i)重力  2 2 2 1 2 1 2 1 (ii)弹性力 A = k x − k x (iii)平方反比力         = − = − −  a b r r r r G Mm r dr A G Mm b a 1 1 0 2 0

3动能和势能函数 在物体从位置a移动到b时,保守力做功为Ab=Va-Vb 显然知道了V和空间位置,我们就知道了物体运动做 功的大小.所以我们用T可以完全替代保守力的做功概念 这时引入势能函数的概念 势能:由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能 量称为势能 定义式:Ab=F=(G)-( 保守力作功在数值上等于系统势能的减少 例子:重力势能、弹性势能、引力势能

在物体从位置a移动到b时，保守力做功为 Aab =Va −Vb 显然知道了V和空间位置，我们就知道了物体运动做 功的大小. 所以我们用V可以完全替代保守力的做功概念. 这时引入势能函数的概念. 势能: 由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能 量称为势能 定义式: 保守力作功在数值上等于系统势能的减少 [ ( ) ( )] b a r r a b A F dr V r V r b a      =   = − −  例子:重力势能、弹性势能、引力势能 3 动能和势能函数