《无机材料物理性能》第四章 热学性能（4.2）热膨胀

4.2热膨胀 421非简诸振动 1.简谐近似 简谐近似:当原子离开其平衡位置发生位移时,它受 到的相邻原子作用力与该原子的位移成正比 设在平衡位置时,两个原子间的互作用势能是:U(a); 产生相对位移δ后,两个原子间的互作用势能是:U(a+8 将U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开如下:

简谐近似：当原子离开其平衡位置发生位移时，它受 到的相邻原子作用力与该原子的位移成正比。 4.2.1 非简谐振动 1. 简谐近似 4.2 热膨胀 设在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是：U(a); 产生相对位移后，两个原子间的互作用势能是：U(a+ ） 将U(a+ ）在平衡位置附近用泰勒级数展开如下：

U(a+8)=U(a)+(dU/dr)28+12(d2U/dr2)282+ 常数0 当δ很小(振动很微弱), 势能展开式中可只保留到8 项,则恢复力为 F=-dU/d8=-(d2U/dr2)

u(r) r r f(r) a rm U(a+ ）=U(a)+(dU/dr)a +1/2(d2U/dr2) a 2+··· 常数 0 当很小（振动很微弱）， 势能展开式中可只保留到2 项，则恢复力为 F =-dU/d=-(d2U/dr2) a

结论 晶格的原子振动可描述为一系列线性独立 的谐振子。 相应的振子之间不发生作用,因而不发生 能量交换。 在晶体中某种声子一且被激发出来,它的 数目就一直保持不变,它既不能把能量传 递给其他频率的声子,也不能使自己处于 热平衡分布

晶格的原子振动可描述为一系列线性独立 的谐振子。 相应的振子之间不发生作用，因而不发生 能量交换。 在晶体中某种声子一旦被激发出来，它的 数目就一直保持不变，它既不能把能量传 递给其他频率的声子，也不能使自己处于 热平衡分布。 结 论

2.非简谐振动 在原子位移较小时,δ高次项与δ2比较起来为一小量, 可把这些高次项看成徼扰项。 谐振子相互间要发生作用-声子间将相互交换能量。 如果开始时只存在某种频率的声子,由于声子间的互 作用,这种频率的声子转换成另一种频率的声子,即 种频率的声子要垠灭,另一种频率的声子会产生

在原子位移较小时， 高次项与2比较起来为一小量， 可把这些高次项看成微扰项。 谐振子相互间要发生作用------声子间将相互交换能量。 如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互 作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子，即 一种频率的声子要垠灭，另一种频率的声子会产生。 2. 非简谐振动

结果:经过一定的驰豫时间后,各种声子的分布达到 平衡,即热平衡。 例如:两个声子相互作用产生第三个声子。 个频率为920GH纵声子束,和与之相平行的频 率为918GHz另一纵声子束在晶体中相互作用,产生 频率为920+918=1838GHz的第三个纵声子束。 声子相互作用的物理过程简述如下: 个声子的存在引起周期性弹性应变,周期性弹性应 变通过非诸相互作用对晶体的弹性常数产生空间和时 间的调制,第二个声子感受到这种弹性常数的调制, 受到散射,产生第三个声子

结果：经过一定的驰豫时间后，各种声子的分布达到 平衡，即热平衡。 例如：两个声子相互作用产生第三个声子。 一个频率为9.20GHz的纵声子束，和与之相平行的频 率为9.18GHz另一纵声子束在晶体中相互作用，产生 频率为9.20+ 9.18= 18.38GHz的第三个纵声子束。 声子相互作用的物理过程简述如下： 一个声子的存在引起周期性弹性应变，周期性弹性应 变通过非谐相互作用对晶体的弹性常数产生空间和时 间的调制，第二个声子感受到这种弹性常数的调制， 受到散射，产生第三个声子

422热膨胀 热膨胀 热膨胀:温度改变△tC时,固体在一定方向上发生 相对长度的变化(△Lo)或相对体积的变化(△VVo) 线膨胀系数:∞=(1/o)(△L/△t) 体积膨胀系数:β=(1o)(△V/△t) △t △t

t t t 1 t 2 1. 热膨胀 热膨胀：温度改变 t oC时，固体在一定方向上发生 相对长度的变化(L/Lo)或相对体积的变化( V/Vo)。 线膨胀系数： =(1/Lo)·(L/ t) 体积膨胀系数： =(1/Vo)/(V/ t) 4.2.2 热膨胀

2.热膨胀机理 热膨胀时,晶体中相邻原子之间的平衡距离也随温 度变化而变化。 按照简谐振动理论解释:温度变化只能改变振幅的 大小不能改变平衡点的位置。 用非简诸振动理论解释热膨胀机理。 (利用在相邻原子之间存在非简谐力时,原子间的 作用力的曲线和势能曲线解释。)

2. 热膨胀机理 热膨胀时，晶体中相邻原子之间的平衡距离也随温 度变化而变化。 按照简谐振动理论解释：温度变化只能改变振幅的 大小不能改变平衡点的位置。 用非简谐振动理论解释热膨胀机理。 （利用在相邻原子之间存在 非简谐力时，原子间的 作用力的曲线和势能曲线解释。）

(1)用作用力的曲线解释质点在平衡位置两侧受力 不对称,即合力曲线的斜 率不等 当rr时,曲线的斜率 较小,吸引力随位移增大 的较慢,即位移X距离, 所受合力小。 距离r如果质点在平衡点两侧受力 不对称越显著,温度增大, 膨胀就越大,晶胞参数越大

ro A1 A2 斥力 引力 合力 距离 r 距离r 质点在平衡位置两侧受力 不对称，即合力曲线的斜 率不等。 当rro时，曲线的斜率较 大，斥力随位移增大的很 快，即位移距离X，所受 合力大。 当r  ro时，曲线的斜率 较小，吸引力随位移增大 的较慢，即位移X距离， 所受合力小。 （1） 用作用力的曲线解释 如果质点在平衡点两侧受力 不对称越显著，温度增大， 膨胀就越大，晶胞参数越大

(2)用势能曲线解释 势能曲线不是严格对称抛 物线。 即势能随原子间距的减小 比随原子间距的增加而增 加得更迅速。 1x雌离r由于原子的能量随温度的 增加而增加,结果 E(T1) 振动原子具有相等势能的 两个极端位置间的平均位 置就漂移到比0K时(r) 更大的值处。由此造成平 衡距离的增大

势能曲线不是严格对称抛 物线。 即势能随原子间距的减小， 比随原子间距的增加而增 加得更迅速。 由于原子的能量随温度的 增加而增加，结果： 振动原子具有相等势能的 两个极端位置间的平均位 置就漂移到比0K时（ro） 更大的值处。由此造成平 衡距离的增大。 （2） 用势能曲线解释 E3 (T3 ) E2 (T2 ) E1 (T1 ) 距离r

3.影响热膨胀的因素 势能曲线的不对称程度越高,热膨胀越大,而不对称 程度随偏离简谐振动程度的增加而增加。 (1)化学键型 离子键势能曲线的对称性比共键键的势能曲线差,所 以随着物质中离子键性的增加,膨胀系数也增加。另 方面,化学键的键强越大,膨胀系数越小。 U(r) Nacl

H2 NaCl U(r) r 离子键势能曲线的对称性比共键键的势能曲线差，所 以随着物质中离子键性的增加，膨胀系数也增加。另 一方面，化学键的键强越大，膨胀系数越小。 3. 影响热膨胀的因素 势能曲线的不对称程度越高，热膨胀越大，而不对称 程度随偏离简谐振动程度的增加而增加。 （1） 化学键型