中国科学技术大学：《物理化学》课程教学资源（课件讲稿）麦克斯韦分布律 Maxwell

§1.4 Maxwell分布律

§1.4 Maxwell 分布律

三讨论← (a)fv)的物理意义 f(y) dN 分子速率在v附近，单位 Ndo 速率间隔内的分子束占总 概率密度 分子数的百分比 f(v)dv dN 分子速率在v~v+dv间隔 N 内的分子束占总分子数的百 概率 分比 Nf(v)du dN 分子速率在v~v+d间隔 内的分子数 分子数 nf(v)dv N dN dN 单位体积内分子速率分布在 V N 速率v附近v~v+dw速 分子数 率区间内的分子数。 分子密度

dv d N N f(v) = (a) f(ν) 的物理意义 概率密度 分子速率在 ν 附近，单位 速率间隔内的分子束占总 分子数的百分比 N N f d (υ)dυ = 概率 分子速率在 ν ~ ν + d ν间隔 内的分子束占总分子数的百 分比 Nf (υ)dυ = dN 分子数 分子速率在 ν ~ ν + d ν间隔 内的分子数 讨论 单位体积内分子速率分布在 速率 v 附近 v ~ v + dv 速 分子数 率区间内的分子数。 V N N N V N nf d d (υ)dυ = ⋅ = 分子密度

讨论 分布在有限速率区间y1~y2 内的分子数占总分子数的比 率。 N(d 分布在有限速率区间y,~2 内的分子数。 f)d=1 分布在0~∞速率区间内的 分子数占总分子数的比率。 （归一化条件) 。v2f()a=v2 w2的平均值

分布在有限速率区间v1 ~ v2 内的分子数占总分子数的比 率。 分布在有限速率区间 v1 ~ v2 内的分子数。 分布在 0 ～ ∞ 速率区间内的 分子数占总分子数的比率。 （ 归一化条件） v2 的平均值。 2 2 1 1 ( ) ( ) 4. ( ) v N v v N v dN f v dv N = ∫ ∫ 2 2 1 1 ( ) ( ) 5. ( ) v N v v N v Nf v dv dN = ∫ ∫ 0 6. ( ) 1 f v dv ∞ = ∫ 2 2 0 7. ( ) v f v dv v ∞ = ∫ 讨论

讨论 (b)f(v)的性质 ∫f(o)dw=1归-性质 (=00) dN, (o=0) W

υ dυ ∫ ∞ 0 f ( ) ( ) ( ) ∫ =∞ = = υ υ υ 0 N dN =1 归一性质 讨论 (b) f (v ) 的性质 4

讨论 00 ∫f(ww=1几何意义 dN. f(w)= Ndu f(v)du 0 1) )-)+d) 曲线下面积恒为1 5

曲线下面积恒为1 ( ) 1 0 = ∫ ∞ f υ dυ 几何意义 o υ υ υ Δ Δ N N υ υ +Δυ υ υ υ d d N N f ( ) = υ −υ + dυ o f ( ) υ υd 讨论 5

讨论年 速率介于yy,之间的气体分子的平均速率的计算 f f"f(v)dv 只，n主f) 对于v的某个函数g(y,一般地，其平均值可以表示为 90 g(y)= ∫fdw

速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算 ∫ ∫ = 2 1 2 1 1 2 v v v v v v f v dv vf v dv v ( ) ( ) ~ ∫ = 2 1 1 2 v v v v v vf (v)dv ~ 对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为 ∫ ∫ ∞ ∞ = 0 0 f v dv g v f v dv g v ( ) ( ) ( ) ( ) 讨论

三讨论 2)平均值的计算公式 注意上下区间的一致性 -Sif(v)dv 全空间 fNf(d ∫f(w)du 7

2) 平均值的计算公式 注意上下区间的一致性 ∫ ∞ = 0 υ υf (υ)dυ ∫ ∫ = 2 1 2 1 ( ) ( ) υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ d d Nf Nf ∫ ∫ = 2 1 2 1 ( ) ( ) υ υ υ υ υ υ υ υ υ d d f f 全空间 讨论 7

讨论← 1) uf(u)du 0 规律：任意v的函数o(v)对全体分子 的平均值都可以用速率分布函数由上式 求得： 00 p(o)=∫p(v)f(w)dv 量子力学中还会碰到类似计算

规律：任意v 的函数ϕ(v)对全体分子 的平均值都可以用速率分布函数由上式 求得： ( ) ∫ ∞ = 0 ϕ v ϕ(v ) f (v )dv υ υf(υ)dυ 0 ∫ ∞ = 量子力学中还会碰到类似计算 讨论 1）

(一) 速度分布函数 d d dn(vx,vy,v) 2 F(vx,Vy,Vz)= V Ndv.do,do. 物理意义： 速度出现在v(,卫，)点附近， 单位速度空间体积内的分子数 占系统分子总数的百分比 或，一个分子的速度出现在单位速度空间 体积内的概率 分子在速度空间分布的概率密度

（一） 速度分布函数 dvxdvydvz d N N(v , v , v ) F(v , v , v ) x y z x y z = 或，一个分子的速度出现在单位速度空间 体积内的概率 物理意义： 分子在速度空间分布的概率密度 x v z v y v x v z v y v x dv z dv y dv o v 速度出现在v (vx,vy,vz)点附近， 单位速度空间体积内的分子数 占系统分子总数的百分比

归一化条件： 00 00 00 j∫fw,yy,vo.d,d:=1 -00-00-00 分子速度0、0、)，一定出现在士o之间 证明：9”g ∫丁jF(o,o,o,)da.do,do: -00-00-00 -=1 N

归一化条件 ： = 1 ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ dvxdvydvz f(v , v , v ) x y z 分子速度 vx、vy、vz一定出现在 ±∞ 之间 证明： F vx vy vz dvxdvydvz ( , , ) ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ 1 d ( , , ) = = = ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ N N N N vx vy vz